Вычислительная длина ввода на одноленточной машине Тьюринга

В связи с этим вопросом мне пришло в голову задаться вопросом: какова временная сложность одноленточной машины Тьюринга с одной головкой для вычисления длины ее входных данных? Чтобы быть точным, скажем, что алфавит ленты равен , входные данные представляют собой строку в окруженную пробелами, машина запускается с крайнего левого входного символа и должна заканчиваться на крайний левый символ строки в $\{0,1,b\}$ $(0+1)^*$ $(0+1)^*$ (снова окруженный пробелами), который дает двоичное представление длины ввода. Это также можно рассматривать как проблему преобразования числа из унарного в двоичное.

Это легко решить на двухслойной машине или машине с двумя головками за линейное время (просто отсканируйте вход одной головкой, используя другую головку, чтобы многократно увеличить счетчик; увеличение - это операция с постоянным амортизированным временем). Но решения с одной головкой, которые я могу придумать, это только (например, многократно увеличивать счетчик, а затем сдвигать его на одну позицию вдоль ленты). Есть ли соответствующая нижняя граница? $O(n\log n)$

Я пробовал некоторые поиски, но фразы типа «одна голова» и «длина ввода» настолько распространены, что затрудняют поиск в литературе известных результатов по этой проблеме.

turing-machines

— Дэвид Эппштейн
источник

Интересно .. Это менее очевидно, чем кажется. Мне любопытно, есть ли связь между нижней границей для этого и нижней границей для забытого моделирования ТМ. (Любой TM, решающий эту проблему, по определению был бы забывчивым (или имел бы ненужный код).)

— Даниэль Апон

Он не может быть вычислен за время . $o(n\lg n)$

Пусть будет машиной, которая задает входную строку с размером записанным в двоичном виде на ленте. $M$ $x$ $x$

Мы можем добавить простой (с нулевым пространственным линейным временем) DFA к чтобы проверить, является ли размер входа степенью двойки: просто убедитесь, что первый бит равен 1, а остальные равны нулю. $M$

Предположим, что проходит время . Тогда мы можем со временем решить что размер входных данных является степенью двойки. Другими словами, следующий язык разрешим в . Из $M$ $o(n \lg n)$ $o(n \lg n)$ $\mathsf{DTime}(n \lg n)$

L знак равно {0^{я} | \exists К я знак равно 2^{К}}

$L = \{ 0^i \mid \exists k \ i = 2^k\}$

что

должно быть регулярным. Но легко проверить, что язык не является регулярным. Таким образом,

не может работать за время

D T i m e (o (n \lg n)) = R e g

$\mathsf{DTime}(o(n \lg n)) = \mathsf{Reg}$

L

$L$

M

$M$

o (n \lg n)

$o(n \lg n)$

— Кава
источник

D T i m e (o (n \lg n)) = R e g

$\mathsf{DTime}(o(n\lg n))=\mathsf{Reg}$

D T i m e (n \lg n) = R e g

$\mathsf{DTime}(n \lg n) = \mathsf{Reg}$

Спасибо за указатели, я посмотрел в "Классическая теория рекурсии" том. II. Для факта, что это изменилось, это не так ясно для меня. Например, книга Сипсера использует однослойные ТМ для определения классов сложности времени, но книга Хопкрофта-Уллмана и последние Арора-Барак и Гольдрайх используют многолинейные ТМ.

— Бруно

@ Бруно, я думаю, что более распространенное определение DTime более сложное. Например, общепринятое утверждение о том, что «теорема о временной иерархии, как известно, не является жесткой», справедливо только для одноленточных машин, а для двухленточных машин известно, что она жесткая с 1982 года.

— Каве

D T i m e

$\mathsf{DTime}$