Формализация теории конечных множеств в теории типов

Большинство помощников по доказательству имеют формализацию понятия «конечное множество». Эти формализации, однако, сильно отличаются (хотя можно надеяться, что все они по существу эквивалентны!). Что я не понимаю на данном этапе, так это пространство проектирования и каковы плюсы и минусы каждой формализации.

В частности, я хотел бы понять следующее:

• Могу ли я аксиоматизировать конечные множества (т.е. типы, населенные конечным числом жителей) в простой теории типов? Система F? Каковы недостатки такого способа?
• Я знаю, что это можно сделать «элегантно» в зависимо типизированной системе. Но с классической точки зрения полученные определения кажутся крайне чуждыми. [Я не говорю, что они не правы, это далеко не так!]. Но я тоже не понимаю, почему они «правы». Я понимаю, что они выбирают правильную концепцию, но более глубокую причину «говорить так» я не совсем понимаю.

По сути, я хотел бы получить аргументированное введение в пространство проектирования формализаций понятия «конечное множество» в теории типов.

Я знаю, что это можно сделать «элегантно» в зависимо типизированной системе. Но с классической точки зрения полученные определения кажутся крайне чуждыми.

Можете ли вы объяснить, что вы подразумеваете под "чужой"? Мне кажется, что вы точно так же формализуете понятие конечного множества в теории типов и в теории множеств.

В теории множеств вы продолжаете, определяя множество как Затем вы определяете предикат конечности как: где означает изоморфизм множеств.$Fin(n)$

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \{ k \in \mathbb{N} \;|\; k < n \}$$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \exists n\in\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

В теории типов вы можете сделать то же самое! Обратите внимание, что является типом с элементами (поскольку второй компонент пары не имеет отношения к доказательствам). Затем вы можете определить конструктор типа конечности следующим образом: где означает изоморфизм типов.

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \Sigma k:\mathbb{N}.\; \mathsf{if}\; k < n\,\mathsf{then}\; \mathsf{Unit} \;\mathsf{else}\; \mathsf{Void}$$ $\mathrm{Fin}(n)$$n$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \Sigma n:\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

Дай посмотреть, смогу ли я добавить что-нибудь полезное к ответу Нила. «Пространство дизайна» для конечных множеств конструктивно намного больше, чем классически, потому что различные определения «конечного» не обязательно должны согласовываться конструктивно. Различные определения в теории типов дают несколько разные понятия. Вот несколько возможностей.

Конечные множества Куратовского ( -конечные) можно охарактеризовать как свободные -полрешетки: для данного множества, типа или объекта элементы свободной -полурешетки могут быть как конечные подмножества , Действительно, каждый такой элемент генерируется:$K$$\lor$$X$$\lor$$K(X)$$X$

• нейтральный элемент , который соответствует пустому набору, или$0$
• генератор , который соответствует синглтону , или$x \in X$$\lbrace x \rbrace$
• соединение из двух элементов, которое соответствует объединению.$S \lor T$

Эквивалентная формулировка такова: является конечным тогда и только тогда, когда существует и сюръекция .$K(X)$$S \subseteq X$$K$$n \in \mathbb{N}$ $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$

Если сравнить это с определением Нееля мы видим , что он требует биекция . Это равносильно тому, что мы принимаем те -конечные подмножества которые имеют разрешимое равенство: . Будешь использовать для сбора разрешим -конечных подмножеств .$e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$$K$$S \subseteq X$$\forall x, y \in S . x = y \lor x \neq y$$D(X)$$K$$X$

Очевидно, что замкнуто относительно конечных объединений, но это не нужно быть замкнутым в конечных пересечениях. И не закрывается ни при каких операциях. Поскольку люди ожидают, что конечные множества ведут себя немного как «булева алгебра без вершины», можно также попытаться определить их как свободную обобщенную булеву алгебру ( , , и относительные дополнения ), но я на самом деле никогда слышал о таких усилиях.$K(X)$$D(X)$$0$$\lor$$\land$$\setminus$

Решая, что такое «правильное» определение, вы должны обратить внимание на то, что вы хотите сделать с конечными множествами. И нет единого правильного определения. Например, в каком смысле «конечный» является множеством комплексных корней многочлена конечного ?

Видите Конструктивно конечно? Thierry Coquand и Arnaud Spiwack для подробного обсуждения конечности. Урок в том, что конечность конструктивно далека от очевидности.