Какая самая старая открытая проблема в TCS?

Эта проблема вдохновлена этим вопросом МО , который мне показался очень интересным.

Какая самая старая открытая проблема в TCS?

Очевидно, что этот вопрос нуждается в уточнении.

Во-первых, что такое TCS? Я думаю, что существование нечетных совершенных чисел не TCS. Я бы сказал, что десятой проблемой Гильберта является TCS. Я думаю, что такие проблемы, как «Можем ли мы построить X с помощью линейки и компаса», также являются TCS, поскольку они запрашивают алгоритм в ограниченной модели вычислений. Не может быть точного способа определить, в чем заключается проблема TCS, но используйте свое суждение. Возможно, один из тестов звучит так: «Если это будет решено, появится ли оно, скорее всего, в STOC / FOCS? Будет ли исследователь, решивший его, скорее всего, теоретиком-информатиком?

Во-вторых, что такое «самый старый»? Я имею в виду самый старый по дате. Указанная дата также должна быть проверяемой, но я не думаю, что это должно быть слишком сложно.

В-третьих, что такое «открытая проблема»? Под «открытой проблемой» я подразумеваю проблему, которая определенно считалась открытой когда-то. Возможно, оно появилось в конце статьи в разделе открытых проблем, или, может быть, есть свидетельства того, что некоторые люди работали над этим и потерпели неудачу, или, возможно, в литературе есть неверные доказательства, которые предполагают, что они были изучены. Пример чего-то, что не соответствует этим критериям: «Греки изучали объекты X и Y. Z явно является промежуточным объектом, наверняка им было интересно, можно ли его построить». Если нет литературы по Z с этого периода времени, то это не является открытой проблемой с того периода времени.

В-четвертых, что я имею в виду под «проблемой»? Я имею в виду конкретный вопрос «да / нет», а не что-то вроде «охарактеризовать все объекты X со свойством Y», потому что на такие вопросы часто нет удовлетворительного ответа. Довольно часто будут разногласия относительно того, был ли решен вопрос. Давайте не будем вдаваться в такие вопросы здесь. Если это не вопрос да / нет, но ясно, что он действительно открыт, это тоже хорошо. (В случае, если это не ясно, под «проблемой» я имею в виду формально заявленную проблему. Пожалуйста, не превращайте некоторые народные легенды об азартных играх в 16-м веке в вопрос о БПП и PSPACE.)

Наконец, поскольку это не большой вопрос, отправляйте ответ только в том случае, если вы считаете, что он старше, чем уже опубликованные ответы (или если вы считаете, что опубликованные ответы не удовлетворяют каким-либо другим условиям - например, они не являются TCS, или они не открыты). Это не беспорядочная коллекция старых открытых проблем.

Какова вычислительная сложность целочисленного умножения? Возможно, этот вопрос восходит, по крайней мере, к алгоритму «дупликации и посредничества» для целочисленного умножения, описанному в Rhind Mat математическом папирусе, который был написан около 1650 г. до н.э. , но претендует на то, чтобы быть копией значительно более старого документа.

Следует признать, что папирус Rhind явно не рассматривал сложность алгоритма. Так что, возможно, лучший ответ: какова сложность решения систем линейных уравнений? Исследование эффективных алгоритмов решения линейных систем восходит, по крайней мере, к комментарию Лю Хуэй, опубликованному в 263 году нашей эры , к Девяти главам математического искусства . В частности, Лю Хуэй сравнивает два варианта того, что в настоящее время распознается как исключение Гаусса, и подсчитывает количество арифметических операций, используемых каждой, с явной целью найти более эффективный метод.

Оба эти вопроса по-прежнему являются предметом активных исследований.

Поиски эффективного алгоритма факторинга, по-видимому, датируются, по крайней мере, Гауссом. Статья 329 Гаусса Disquitiones Arithmeticae (1801) имела следующую цитату ( источник ):

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

Конечно, это правда, что Гаусс формально не определил именно то, что он хотел из алгоритма факторинга. В той же статье он говорил о том факте, что все известные в то время алгоритмы тестирования простоты были очень «трудоемкими и распространенными».

Следующее, цитата из

• Goldwasser, S. and Micali, S. 1982. Вероятностное шифрование и как играть в ментальный покер, сохраняя в секрете всю частичную информацию. В материалах четырнадцатого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений (Сан-Франциско, Калифорния, США, 05–07 мая 1982 г.). STOC '82. ACM, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 365-377. DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

Относится к другой проблеме, относящейся к Gauss 'Disquitiones Arithmeticae (1801):

$(\frac{q}{N})=1$$(\frac{q}{N})$

PS: К настоящему времени мы знаем две из четырех алгоритмических проблем :

1. Факторинг (как упомянуто Арнаб);
2. Определение квадратичной остаточности.

Какие еще две проблемы описаны Гауссом?

В литературе нашей страны есть поговорка, которую я буквально перевожу как «Загадка становится легче, когда ее разрешают». Хотя это не очень хороший перевод, это относится к тому факту, что когда у вас есть решение, вы можете легко его проверить; но до этого загадка кажется очень сложной.

Это относится к известной в настоящее время проблеме «FP vs. FNP»: если FNP = FP, проверка ответа на загадку так же проста, как и ее поиск. Однако если FNP N FP, то существуют «загадки», для которых найти решение гораздо сложнее, чем проверить решение.

Я полагаю, что эта проблема - самая старая открытая проблема TCS, но ее строгая формулировка восходит примерно 30 лет назад!

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

РЕДАКТИРОВАТЬ: «Можем ли мы вычислить числа в поли-времени» является еще одной открытой проблемой TCS, но я думаю, что она моложе, чем проблема, упомянутая выше.

Вот два списка открытых проблем TCS в сети:

• http://www.c2.com/cgi/wiki?OpenProblemsInComputerScience
• http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=category/theoretical_computer_science

У нас также есть такой список здесь, на CSTheory.

Я подвергаю сомнению вашу исключающую теорию чисел, включающую вопросы о том, являются ли некоторые теории чисел конечными или бесконечными как часть TCS и определенно утверждают иначе. Греки спросили:

• есть ли какие-то странные идеальные числа? [возможно, рассматривается Евклидом]

• Есть ли бесконечное число двойных простых чисел?

$TM_x$$TM_y$

возможно, это две древние алгоритмические проблемы, и греки первыми разработали TCS, главным образом, в форме теории чисел, а ранние проблемы теории чисел - это просто частные случаи проблемы остановки Туринга и ранние косвенные доказательства ее сложности. и существует тесная связь между вопросом / поиском / поиском доказательств и теорией неразрешимости.

возможно новое исследование показывает, что гипотеза Коллатца, когда-то считавшаяся любопытством теории чисел, имеет глубокие связи с теорией вычислимости и может лежать прямо на границе между неразрешимыми и разрешимыми проблемами. также приведенный вами пример 10-й проблемы Гилберта показывает очень фундаментальную связь между теорией чисел и TCS.

два других древних алгоритмических вопроса:

• Что является эффективным или наиболее эффективным алгоритмом для вычисления gcd, наибольший общий делитель?

• Что такое эффективный или наиболее эффективный алгоритм для вычисления простых чисел?

согласился, что второй вопрос довольно тесно связан с факторингом, но, конечно, не совсем так. он был рассмотрен сито и евклидом Эратосфена. конечно, недавно было показано, что AKS использует P, но даже тогда алгоритм не является полностью оптимальным.

существует очень современное исследование TCS по алгоритму euclids gcd (т. е. 20 век), которое показало, что числа Фибоначчи дают ему наихудшую производительность. [не уверен, кто первый показал это]

пока алгоритм Евклида не окажется оптимальным, возможно, эффективное вычисление gcd все еще остается открытым.

Не уверен, насколько серьезен этот ответ, но ....

Это действительно зависит от того, насколько широко вы хотите определить свой вопрос.

Конечно, "можно ли построить интеллектуальную машину?" это самый старый открытый вопрос в CS, который начал информатику, но, вероятно, старше на миллиниум или два, чем CS. Нет? (Это вопрос теории, поскольку он требует ответа, а не самой машины ...)

Естественной ссылкой на поиск интеллектуальной машины был бы Голем ... http://en.wikipedia.org/wiki/Golem#History

Я могу ответить на ваш вопрос со 100% уверенностью в течение определенного периода времени. Если мы рассмотрим период от оригинальной статьи Хартманиса и Стернса до какого-либо момента в будущем, самая старая проблема в TCS, которая до сих пор остается открытой:

Каковы минимальные накладные расходы, необходимые для моделирования детерминированных ТМ?

$T^{2}(n)$$T(n)$$\log T(n)$

$\log T(n)$