Твердость подмножества Set Cover

Насколько сложна проблема Set Cover, если число элементов ограничено некоторой функцией (например, ), где - размер экземпляра задачи. Формально,$\log n$$n$

Пусть и где и . Насколько сложно решить следующую проблему?F = { S 1 , ⋯ , S n } S i ⊆ U m = O ( log n $\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}$$\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}$$S_i \subseteq \mathcal{U}$$m = O(\log n)$

Что если ?$m=O(\sqrt{n})$

Любой результат, основанный на общеизвестных догадках (например, Unique Games, ETH), хорош.

Редактировать 1: Мотивация для этой проблемы заключается в том, чтобы выяснить, когда проблема усугубляется с увеличением . Ясно, что проблема в P, если и NP-hard, если . Какой порог для NP-сложности проблемы?m = O ( 1 ) m = O ( n $m$$m=O(1)$$m=O(n)$

Редактировать 2: Существует тривиальный алгоритм для его решения за время (который перечисляет все подмножества размера в ). Следовательно, задача не является NP-сложной, если поскольку ETH подразумевает, что не существует алгоритма во времени для любой NP-сложной задачи. проблема (где - размер NP-сложной задачи).m F m = O ( log n ) O ( 2 n o ( 1 ) ) $O(n^{m})$$m$$\mathcal{F}$$m=O(\log{n})$$O(2^{n^{o(1)}})$$n$

Когда , вы можете использовать динамическое программирование, чтобы найти оптимальное за полиномиальное время. Таблица содержит булевозначные ячейки для каждого и , указывающие, существуют ли наборы, которые покрывают элементов в .T ℓ , X ℓ ∈ { 0 , … , k } X ⊆ U ℓ $m = O(\log n)$$T_{\ell,X}$$\ell \in \{0,\ldots,k\}$$X \subseteq \mathcal{U}$$\ell$$X$

Когда , скажем, , проблема остается NP-трудной. Для данного экземпляра SET-COVER добавьте новых элементов и новых набора, состоящих из непустых подмножеств новых элементов, включая (когда достаточно велико, ). Также увеличьте на единицу. Новые - это и .m≤C$m = O(\sqrt{n})$ mx1,…,xm(2C - 1 м)2{x1,…,xm}m(2C - 1 м)2<2mkm,nm′=2mn′=n+(2C - 1 м)2$m \leq C\sqrt{n}$$m$$x_1,\ldots,x_m$$(2C^{-1}m)^2$$\{x_1,\ldots,x_m\}$$m$$(2C^{-1}m)^2 < 2^m$$k$$m,n$$m' = 2m$$n' = n + (2C^{-1}m)^2 \geq (C^{-1}m')^2$

Случай находится в времени, как отметил Ювал, но также обратите внимание, что для вы можете решить проблему в время (полиномиальное время) путем исчерпывающего поиска. Предполагая гипотезу сильного экспоненциального времени (что для CNF-SAT по формулам с переменными и предложениями требуется как минимум времени), эти две временные границы являются «пределом» того, что мы можем ожидать в полиномиальное время, в следующем смысле.n O ( c ) k = O ( 1 ) O ( n k ⋅ m ) N O ( N ) 2 N - o ( N $m = c \log n$$n^{O(c)}$$k = O(1)$$O(n^k \cdot m)$$N$$O(N)$$2^{N-o(N)}$

В моей статье SODA'10 с Михаем Патраску мы изучаем существенно изоморфную проблему нахождения доминирующего множества размера в произвольном узловом графе, показывая, что если доминирующее множество можно решить в время для некоторого и , тогда существует временной алгоритм для CNF-SAT для переменных и предложений.n k n k - $k$$n$$k$$n^{k-\varepsilon}$ε > 0 2 N ( 1 - ε / 2 ) p o l y ( M ) N $k \geq 2$$\varepsilon > 0$$2^{N(1-\varepsilon/2)}poly(M)$$N$$M$

Отметив взаимосвязь между окрестностями вершин в экземпляре доминирующего набора и множествами в экземпляре покрытия набора, и изучив редукцию, вы обнаружите, что это сокращение также показывает решение -Set Cover с наборами в юниверсе размера в Время подразумевает алгоритм CNF-SAT для формул CNF с предложениями и переменными, работающими за времени , Для опровержения Сильного ETH достаточно решить CNF-SAT в случае, когда . Следовательно, алгоритм для вашей задачи работает вn m n k - ε ⋅ f ( m ) M N 2 N ( 1 - ε / 2 ) ⋅ f ( M ) M = O ( N ) n k - ε ⋅ 2 m / α ( m ) α ( m $k$$n$$m$$n^{k-\varepsilon}\cdot f(m)$$M$$N$$2^{N(1-\varepsilon/2)}\cdot f(M)$$M = O(N)$$n^{k-\varepsilon}\cdot 2^{m/\alpha(m)}$Время для некоторой неограниченной функции привело бы к неожиданному новому алгоритму SAT.$\alpha(m)$