Выберите два числа на сумму

Вот проблема ближайшего соседа.

Учитывая реалы $a_1, \ldots, a_n$ (очень большой $n$!), плюс цель реальная $p$, найти $a_i$ а также $a_j$ чья сумма ближе всего $p$, Мы разрешаем разумную предварительную обработку / индексацию$a_1, \ldots, a_n$ (вплоть до $O(n \log n)$), но во время запроса $p$), результат должен быть возвращен очень быстро (например, $O(\log n)$ время).

(Более простой пример: если бы мы только хотели ОДИН $a_i$ это ближе всего к $p$мы бы отсортировали $a_1, \ldots, a_n$ не в сети, $O(n \log n)$затем выполните бинарный поиск во время запроса, $O(\log n)$).

Решения, которые не работают:

1) Сортировка $a_1, \ldots, a_n$в автономном режиме, затем во время запроса начните с обоих концов и переместите два указателя внутрь ( http://bit.ly/1eKHHDy ). Не хорошо, из-за$O(n)$ время запроса.

2) Сортировка $a_1, \ldots, a_n$ в автономном режиме, а затем во время запроса, принять каждый $a_i$ и выполнить бинарный поиск для «приятеля», который помогает ему суммировать что-то близкое к $p$, Не хорошо, из-за$O(n \log n)$ время запроса.

3) Сортировка всех пар $(a_{1}, \ldots, a_{n})$в автономном режиме, а затем сделать бинарный поиск. Не хорошо, из-за$O(n^2)$ Предварительная обработка.

Спасибо!

пс. Дальнейшие обобщения, необходимые для практики: (1)$a_1, \ldots, a_n$ а также $p$ быть 50-мерными векторами, (2) "близко", чтобы быть векторным косинусным расстоянием, и (3) $k$-бест ближайших пар-та-сумма, а не только 1-лучший.

Это почти наверняка невозможно.

Предположим, вы можете решить свою проблему с предварительной обработкой времени $P(n)$ и время запроса $Q(n)$, Тогда есть простой алгоритм для решения проблемы 3SUM - предоставлен набор$n$ действительные числа, суммируют ли какие-либо три элемента ноль? $P(n)+n\cdot Q(n)$время. Мы предварительно обрабатываем все числа, затем для каждого числа$a_k$мы находим значение $a_i+a_j$ это ближе всего к $-a_k$; если это соответствует$-a_k$ точно, мы нашли решение проблемы 3SUM.

Тем не менее, самый быстрый алгоритм, известный для 3SUM работает в $O(n^2)$время, и этот алгоритм широко предположил, чтобы быть оптимальным. Кроме того, есть соответствие$\Omega(n^2)$нижняя граница в ограниченной, но естественной модели дерева решений. Для наборов целых чисел существуют слегка субквадратичные алгоритмы времени, которые «играют в игры с битами», но даже в модели целочисленного ОЗУ 3SUM предположительно требует$\Omega(n^2/\text{polylog}\,n)$ время.

Таким образом, предполагая, что гипотеза верна, ваша задача требует либо (почти) квадратичного времени предварительной обработки, либо (почти) времени линейного запроса.

Если вы можете использовать неограниченное пространство и неограниченное время во время предварительной обработки, то следующее решение отвечает вашим требованиям:

• Во время предварительной обработки вычислить набор $\{a_i+a_j:1\le i\le j\le n\}$и сохраните этот набор в отсортированном порядке. Этот набор может быть создан и отсортирован в$O(n^2)$ время, и это занимает $O(n^2)$ место для его хранения.

• Теперь, чтобы ответить на запрос (найти $a_i,a_j$ где $a_i+a_j$ как можно ближе к $p$насколько это возможно), просто выполните бинарный поиск в этом отсортированном списке. Что займет$O(\lg n)$ время.

Если это решение неприемлемо, вам нужно более тщательно продумать свои требования и соответствующим образом отредактировать вопрос.