Положительный топологический порядок, дубль 3

Предположим, у нас есть матрица n на n. Можно ли изменить порядок строк и столбцов так, чтобы мы получили верхнетреугольную матрицу?

Этот вопрос мотивирован этой проблемой: положительный топологический порядок

Первоначальная проблема решения, по крайней мере, так же сложна, как эта, поэтому результат NP-полноты также решит эту проблему.

Изменить: Ласло Вег и Андрас Франк обратили мое внимание на эквивалентную проблему, заданную Гюнтером Роте: http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

Редактировать: приведение к исходной проблеме заключается в следующем. Предположим, что DAG имеет только два уровня, они будут соответствовать строкам и столбцам матрицы. Также у нас есть один узел с весом +1. Все остальные на нижнем уровне имеют вес -1, а на верхнем уровне +1.

Задача оказалась NP-полной. Вы можете прочитать более подробно здесь и здесь . Краткое содержание:

Дасгупта, Цзян, Каннан, Ли и Свидык показали, что сокращение из задачи является NP-завершенным: учитывая двудольный граф G и целое число k, решите, есть ли в G индуцированный подграф на 2k узлах, который можно расширить до быть уникально сопоставимым. Стефан Виалетт заметил, что это сводится к двудольному уникальному подходящему варианту этой задачи, если мы добавим nk изолированных узлов в оба класса.

Внимание: это частичный ответ, основанный на предположениях и слухах! В то время как более общая проблема Дэвида Эппштейна является NP-полной, возможно, эта проблема в P.

$(A \cup B, E)$$|A|=|B|=n$

• он не должен содержать 2 идеальных совпадений,
• $\le (1, 2, ..., n)$

До сих пор я не смог найти ни одного примера, где график удовлетворяет этим условиям, но не соответствует UPMX. В таком случае, может быть, их достаточно. Можно доказать это следующим алгоритмом:

1. если график имеет> 1 идеального соответствия, верните «not UPMX»
2. если график не соответствует условию степени, верните «не UPMX»
3. если график имеет = 1 идеальное соответствие, вернуть «UPMX»
4. в противном случае, возможно, мы сможем показать, что это UPMX. Возможно, следующий алгоритм мог бы доказать это:
   • $\le \tbinom{n+1}{2} - 2$
   • найти некоторое новое ребро e, сложение которого не создает идеального соответствия и не нарушает условие степени; добавить е к графику
5. $\tbinom{n+1}{2} - 1$

Вы можете охарактеризовать, какие новые ребра будут создавать идеальное соответствие, используя теорему Холла, и нетрудно определить, какие новые ребра будут нарушать границу степени. К сожалению, даже если это правда, что край правильного типа всегда существует, я не смог доказать это.

Эта бумага, Получение треугольной матрицы независимыми перестановками столбцов- строк Фертин, Русу и Виалетт» показано, что задача является NP-полной для двоичных квадратных матриц.

Проблема является NP-полной, но где алгоритм для ее решения? У меня есть один алгоритм, который работает на многих примерах, но я не могу доказать, что он будет работать постоянно.