Целочисленные корни многочлена

Какой алгоритм мы можем использовать, чтобы найти все целочисленные корни многочлена с целыми коэффициентами? $f(x)$

Я замечаю, что Мудрец может найти корни в течение нескольких секунд, даже когда все коэффициенты очень велики. Как это может сделать это? $f(x)$

ds.algorithms na.numerical-analysis

— user12290
источник

Вы ищете алгоритм для возврата целочисленного корня заданного полинома? Если да, то это неразрешимо, и вопрос здесь не по теме. Вы можете спросить об этом в области компьютерных наук, которая имеет более широкий охват.

— Каве

Оставайтесь на линии. Почему неразрешимость делает вопрос не по теме? Это законный вопрос исследовательского уровня.

— Джефф

Итак, как же Sage это делает? Быть неразрешимым - даже если известно, что оно неразрешимо - не делает проблему теоретически неинтересной. Теоретические компьютерные ученые все время решают неразрешимые проблемы - например, см. Все компьютерные проверки.

— Джефф

Kaveh, то, что вы говорите, не соответствует действительности. Что неразрешимо, так это разрешимость диофантовых уравнений со многими переменными (так что реальных решений легко бесконечно много, и каждый ищет целочисленное / рациональное решение). Но этот вопрос касается многовариантного многочлена , который, конечно, разрешим (если имеет степень , существует до корней, и можно проверить, какое из них является целым числом).

f (x)

$f(x)$

f (x)

$f(x)$

d

$d$

d

$d$

— Махди Черагчи

@Pratik Вам не нужны базы Гребнера в одномерном случае.

— Юваль Фильмус

Предполагая, что коэффициенты являются целыми или рациональными и что вам нужны целочисленные корни, самый простой подход состоит в использовании целочисленной или рациональной теоремы о корне. См. Http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem. Как отмечает DW, это может быть проблематично, если постоянный коэффициент трудно учитывать (см. Также /math/123018/polynomial- и-целочисленные корни ) $f$

В любом случае документация Sage четко объясняет, как они выполняют поиск в корне: «Следующий метод, который используется, если K является целочисленной областью, состоит в том, чтобы попытаться разложить многочлен. Если это удастся, то для каждой степени один фактор a * x + b, мы добавляем -b / a в качестве корня (пока этот фактор действительно находится в нужном кольце). " См. Http://www.sagemath.org/doc/reference/polynomial_rings/sage/rings/polynomial/polynomial_element.html .

Итак, ваш вопрос звучит так: как они эффективно разлагают многочлены с целыми коэффициентами? Очевидно, Sage вызывает NTL для этого ( подробности NTL см. В http://www.shoup.net/ntl/doc/ZZXFactoring.txt ).

Если вам нужен асимптотически эффективный метод, вы можете обратиться к методу Lenstra, Lenstra и Lovasz ( https://openaccess.leidenuniv.nl/handle/1887/3810 ).

— Минар
источник

Спасибо за полезный совет! Захватывающий. Можете ли вы отредактировать свой ответ, чтобы уточнить, как превратить его в алгоритм, и каково его время выполнения? Является ли время выполнения в наихудшем случае экспоненциальным (потому что может потребоваться субэкспоненциальное время для вычисления фактора, и тогда может быть экспоненциально много делителей ведущего и конечного коэффициентов)? Если да, то есть ли лучшие алгоритмы или это лучшее, что можно сделать? Кроме того, разве этот подход не находит только рациональные корни, но не иррациональные корни?

— DW

Перечитывая вопрос и видя, что вы толкуете его по-разному, я больше не полностью уверен, но мне и некоторым авторам стало ясно, что вопрос задается о целочисленных корнях. Разве вы не читаете это так?

— минар

@minar, ты прав. Теперь, когда я перечитал вопрос, он кажется таким. Должно быть, я прочитал вопрос слишком быстро. (Первоначально я неверно истолковал вопрос как подразумевающий, что мы хотим, чтобы все корни многочлена имели целочисленные коэффициенты, но при перечитывании вопроса это выглядит как неправильное толкование.)

— DW

Для асимптотически и практически эффективного метода наиболее известным алгоритмом является Ван Хой (см. Здесь ). На самом деле NTL, похоже, использует его.

— Бруно