Комбинаторная версия полиномиальной гипотезы Гирша

Рассмотрим непересекающихся семейств подмножеств {1,2,…, n}, . $t$ ${\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t}$

Предположим, что

(*)

Для каждого , и каждый и , существует , который содержит . $i \lt j \lt k$ $R \in {\cal F}_i$ $T \in {\cal F}_k$ $S \in {\cal F}_j$ $R \cap T$

Основной вопрос:

Насколько большой не может быть ???

Что известно

Самая известная верхняя граница является квазиполиномом . $t \le n^{\log n+1}$

Самая известная нижняя граница является (с точностью до логарифмического множителя) квадратичной.

Эта абстрактная установка взята из статьи « Диаметр многогранников: границы абстракции» Фридриха Эйзенбранда, Николая Ханле, Саши Разборова и Томаса Ротвосса . Квадратичная нижняя оценка, а также доказательство верхней границы можно найти в их статье.

мотивация

Каждая верхняя граница будет применяться к диаметру графиков d-мерных многогранников с n гранями. Чтобы увидеть это, свяжите с каждой вершиной множество фасет, содержащих ее. Тогда, начиная с вершины пусть - множества, соответствующие вершинам многогранника расстояния от . $v$ $S_v$ $w$ ${\cal F}_r$ $r+1$ $w$

Больше

Эта проблема является предметом polymath3 . Но я подумал, что было бы полезно представить это здесь и на МО, несмотря на то, что это открытая проблема. Если проект приведет к определенным подзадачам, я (или другие) также могу попытаться задать их.

(Обновление; 5 октября :) Одна особая проблема, которая представляет особый интерес, состоит в ограничении внимания на наборы размера d. Пусть f (d, n) будет максимальным значением t, когда все множества во всех семействах имеют размер d. Пусть f * (d, n) будет максимальным значением t, когда мы разрешаем мультимножества размера d. Понимание f * (3, n) может иметь решающее значение.

Проблема: f * (3, n) ведет себя как 3n или как 4n?

Известные нижняя и верхняя границы составляют 3n-2 и 4n-1 соответственно. и так как 3 - начало последовательности 'd', а 4 - начало последовательности, решает, будет ли истина 3 или 4, может быть важна. Смотрите вторую ветку . $2^{d-1}$

— Гил Калай
источник

Гипотеза Хирша, Википедия

— vzn

кажется, что эта гипотеза была бы очень проверяемой и, возможно, даже восприимчивой к вычислительному / эмпирическому / экспериментальному подходу с использованием метода Монте-Карло. кто-нибудь пробовал это?

— 2012 года

Является ли ваша новая причина вознаграждения «текущие ответы устаревшими и требуют пересмотра с учетом последних изменений», похоже, что вы имеете в виду что-то конкретное ...? в этой статье 2013 года « Последние достижения в области диаметра многогранников и симплициальных комплексов » Сантоса говорится, что гипотеза Гирша «опровергнута».

— ВЗН

Уважаемый vzn, Это была своего рода шутка: любое утверждение о текущих ответах является правильным, если нет ответов.

— Гил Калай

$t$ $n$ $d$ $3^{2^n}$ $f$ из его первых нескольких значений. Мы также не изучили подробно все комментарии предыдущих потоков, поэтому некоторые из них, возможно, уже известны - мы в основном веселились, делая наш код быстрым, и хотели публиковать наши результаты где-нибудь, если бы у меня была работающая среда LaTeX, я бы положи это на ArXiV.

Код (это не совсем рабочий код ...): http://pastebin.com/bSetW8JS . Ценности:

f(d=2, n)=2n-1 for n <= 6

f(d=3, n=3) = 6
{} {0} {01} {012} {12} {2}

f(d=4, n=4) = 8
f(d=3, n=4) = 8
{} {0} {01} {1,02,03} {2,13} {123} {23} {3}
{} {0} {01} {2,013} {1,02,03} {023} {23} {3}

f(d=5, n=5) = 11
f(d=4, n=5) = 11
f(d=3, n=5) = 11
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,3} {02,12,013,014} {13,023,04,124} {123,024} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,13} {02,12,013} {03,123,014,024} {023,124} {23,24} {234} {34} {4}

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $A \in {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

$\sim$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ . Во-вторых, если ${\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1} \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ , Последующий алгоритм динамического программирования становится очевидным. Число классов эквивалентности (вместе со временем, затрачиваемым двумя вышеупомянутыми операциями), дает ограничение времени работы очевидного алгоритма динамического программирования.

$A$ $\{ 1, \dots, n \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ k \mid \exists B \in {\cal F}_k : A \subseteq B \} = \{ i, \dots, j \}$ $1 \leq i \leq j \leq n$ $(i, j)$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $B$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $(i, j)$ $j < t - 1$ $A$ $\sim$ $B$ $C \in {\cal F}_t$ $D \in {\cal F}_{t+1}$ $B \cap C \subseteq D$ $3^{2^n}$

${\cal F}_{t+1}$ ${1, \dots, i}$ ${\cal F}_1 = \{ \{ 1 \} \}, {\cal F}_2 = \{ \{ 1, 2 \} \}$ ${\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_3$ может привести к более радикальной экономии.

— Алекс тен Бринк
источник