Простой случай SAT, который нелегок для разрешения дерева

Существует ли естественный класс формул CNF - предпочтительно тот, который ранее изучался в литературе - со следующими свойствами:$C$

• является простым случаем SAT, как, например, Horn или 2-CNF, т. Е. Членство в C можно проверить за полиномиальное время, а формулы F ∈ C можно проверить на выполнимость за полиномиальное время.$C$$C$$F\in C$
• Неудовлетворительные формулы как известно, не имеют коротких (полиномиального размера) древовидных опровержений разрешения. Еще лучше было бы: есть неудовлетворительные формулы в C, для которых известна суперполиномиальная нижняя оценка для древовидного разрешения.$F\in C$$C$
• С другой стороны, неудовлетворительные формулы в как известно, имеют короткие доказательства в некоторой более сильной системе доказательств, например, в dag-подобном разрешении или в некоторой даже более сильной системе.$C$

не должно быть слишком редким, то есть, содержит множество формул с п переменными, для каждого (иликрайней мередля большинства значений) п ∈ N . Он также должен быть нетривиальным в том смысле, что он содержит как выполнимые, так и неудовлетворительные формулы.$C$$n$$n\in \mathbb{N}$

Следующий подход к решению произвольной формулы CNF должен быть осмысленным: найти частичное назначение α st, остаточная формула F α находится в C , а затем применить алгоритм полиномиального времени для формул в C к F α . Поэтому я хотел бы получить другие ответы, помимо совершенно других ограничений из принятого в настоящее время ответа, так как я думаю, что редко, когда произвольная формула становится совершенно другим ограничением после применения ограничения.$F$$\alpha$$F\alpha$$C$$C$$F\alpha$

Звучит так, как будто вас интересуют разные ограничения (и ваше последнее предложение на правильном пути). Это нетривиальные примеры принципа голубиного отверстия, когда число голубей не обязательно превышает количество отверстий, и, кроме того, некоторые голуби могут быть исключены из некоторых отверстий.

Все различные ограничения могут быть решены путем сопоставления за полиномиальное время низкого порядка.

• Жан-Чарльз Регин, Алгоритм фильтрации ограничений различий в CSP , AAAI 1994, 362–367.
• Д. Е. Кнут и А. Рагхунатан, Проблема совместимых представителей , SIAM J. Discrete Math. 5 422–427, 1992. doi: 10.1137 / 0405033

Когда все различные ограничения выражаются (с использованием одного из нескольких кодировок) в качестве экземпляров SAT, тогда изучение предложений, основанное на конфликте, обычно быстро находит решение, если оно существует. Однако чистое разрешение для PHP должно создавать суперполиномиально большой набор предложений, чтобы показать, что экземпляр является неудовлетворительным. Эта оценка явно справедлива для этой более общей проблемы. С другой стороны, напомним, что кодирование Кука PHP допускает опровержения расширенного разрешения полиномиального размера .

• С.А. Кук, Короткое доказательство принципа голубиного отверстия с использованием расширенного разрешения , SIGACT News 8 28–32, 1976. doi: 10.1145 / 1008335.1008338

Недавняя работа в этом направлении - глава 5 диссертации Серджи Оливы , которая легла в основу работы с Альберто Ацериасом в CCC 2013.

Я ожидаю, что вы знаете о классическом результате Кука, так что, возможно, вы хотели ограничить возможности системы доказательства в своем третьем условии?

Я не уверен, почему нужно также использовать формулу sat, но есть несколько статей о разделении между Общими и Резолюцией дерева, например [1]. Мне кажется, что это то, что вы хотите.

[1] Бен-Сассон, Эли, Рассел Импальяццо и Ави Вигдерсон. «Почти оптимальное разделение древовидного и общего разрешения». Combinatorica 24,4 (2004): 585-603.

Возможно, вас заинтересуют формулы SAT с небольшой (логарифмической) «шириной полосы» или «шириной линии». Эти формулы рекурсивно разделяются таким образом, что граница связи между разделами мала, и, следовательно, для их решения может использоваться подход динамического программирования с использованием перечислений. Тема была популярна в девяностых. Однажды я подсчитал точное число гамильтоновых циклов в небольшом графе длины дерева, состоящем из 24 000 вершин, так что проблемы #P с малой шириной дерева также разрешимы. Bodlaender является основным ориентиром.

эта следующая статья кажется близкой к тому, что запрашивается в некоторых отношениях (если она не подходит, возможно, JJ может уточнить, почему). вопрос хочет исключить экземпляры PHP (pigeonhole), основанные на отсутствии обеих формул true / false, но (как указано в других ответах) PHP является одним из наиболее хорошо изученных генераторов падежей / экземпляров со стороны теории и имеет всегда был генератором для обеих выполнимых / неудовлетворительных формул, хотя выполнимые формулы менее подчеркнуты / изучены.

${^m_n}$$m$$n$$m>n$$m \leq n$

• Древовидная резолюция суперполиномиально медленнее, чем DAG-подобная резолюция для принципа голубиных ям (1999 г.) Казуо Ивама, Шуичи Миядзаки

Другой подход заключается в том, чтобы пойти в более эмпирическом ракурсе и просто генерировать случайные случаи (предположительно, вокруг точки перехода, легко достигающей 50%), и фильтровать их в соответствии с указанными критериями. для этого потребуются реализации разрешения дерева / разрешения DAG или «более сильные системы».