нахождение наименьших k элементов в массиве в O (k)

Это интересный вопрос, который я нашел в Интернете. Для данного массива, содержащего n чисел (без информации о них), мы должны предварительно обработать массив за линейное время, чтобы мы могли вернуть k наименьших элементов за время O (k), когда нам дано число 1 <= k <= n

Я обсуждал эту проблему с некоторыми друзьями, но никто не мог найти решение; любая помощь будет оценена!

быстрые примечания: - порядок k наименьших элементов не важен; - элементы в массиве являются числом, могут быть целыми числами, а могут и не быть (так что без сортировки по осям); - число k не известно на этапе предварительной обработки. предварительная обработка - O (n) время. функция (найти k наименьших элементов) за O (k) время.

Предварительно обработать массив из значений за время O ( n ) :$n$$O(n)$

• $i\leftarrow n$
• пока $i>2$
  • Вычислить медиану из A [ 1 .. я ] во время O ( я $m$$A[1..i]$$O(i)$
  • разделить на A [ 1 .. i / 2 - 1 ] ≤ m и A [ i / 2 + 1 .. i ] ≥ m одновременно.$A[1..i]$$A[1..i/2-1] \leq m$$A[i/2+1..i]\geq m$
  • $i \leftarrow \lfloor i/2 \rfloor$

Общее время предвычисления находится в пределах $O(1+2+4+...+n)\subseteq O(n)$

Ответьте на запрос для наименьших элементов в A за время O ( k ) :$k$$A$$O(k)$

• $l\leftarrow \lfloor \log_2 k \rfloor$
• выберите -й элемент x из A [ 2 l . .2 л + 1 ] за время O ( 2 л ) ⊆ O ( k $(k-2^l)$$x$$A[2^l..2^{l+1}]$$O(2^l)\subseteq O(k)$
• перегородка по х в то же время$A[2^l..2^{l+1}]$$x$

содержит k наименьших элементов.$A[1..k]$$k$

Ссылки:

• В 1999 году Дор и Цвик разработали алгоритм для вычисления медианы из элементов за время в 2,942 n + o ( n ) сравнений, что дает алгоритм выбора k- го элемента из n неупорядоченных элементов менее чем за 6 n сравнений.$n$$2.942 n + o(n)$$k$$n$$6n$

Для простоты предположим, что . Используйте алгоритм линейного выбора времени, чтобы найти элементы в позициях 2 m - 1 , 2 m - 2 , 2 m - 3 , … , 1 ; это занимает линейное время. Для данного k найти t таким, что 2 t - 1 ≤ k ≤ 2 t ; обратите внимание, что 2 t ≤ 2 k . Отфильтровать все элементы ранга не более 2 $n = 2^m$$2^{m-1},2^{m-2},2^{m-3},\ldots,1$$k$$t$$2^{t-1} \leq k \leq 2^t$$2^t \leq 2k$$2^t$и теперь используйте алгоритм линейного выбора времени, чтобы найти элемент в позиции за время O ( 2 t ) = O ( k ) .$k$$O(2^t) = O(k)$

Пояснение: Может показаться, что предварительная обработка занимает время , и это действительно так, если вы неосторожны. Вот как выполнить предварительную обработку за линейное время:$\Theta(n\log n)$

while n > 0:
  find the (lower) median m of A[0..n-1]
  partition A in-place so that A[n/2-1] = m
  n = n/2

Разделение на месте выполняется как в быстрой сортировке. Время работы является линейным в , и, следовательно, линейным. В конце концов, массив A удовлетворяет следующим свойством: для каждого к , A [ 0 .. п / 2 K - 1 ] состоит из п / 2 к наименьших элементов.$n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 < 2n$$A$$k$$A[0..n/2^k-1]$$n/2^k$

$O(n)$$O(k)$$k$

Фредериксон, Грег Н. , Оптимальный алгоритм выбора в минимальной куче , Инф. Вычи. 104, № 2, 197-214 (1993). ZBL0818.68065 ..

$k$$k$