Сложность экспоненциальной функции

Мы знаем, что экспоненциальная функция над натуральными числами не вычисляется за полиномиальное время, поскольку размер выходных данных не ограничен полиномиально по размеру входных данных.$\exp(x,y) = x^y$

Является ли это основной причиной сложности вычисления экспоненциальной функции, или вычисление степени по своей природе сложно вычислить независимо от этого соображения?

Какова сложность битового графа экспоненциальной функции?

$$\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$$

Вот некоторые верхние границы.

При повторном возведении в квадрат проблема в PSPACE.

Есть немного лучшая верхняя граница. Эта проблема является частным случаем проблемы BitSLP: учитывая прямолинейную программу, начинающуюся с 0 и 1 с сложением, вычитанием и умножением, представляющим целое число N , и учитывая, что i ∈ℕ, решить, будет ли i-й бит (считая от младший значащий бит) двоичного представления N равен 1. Проблема BitSLP находится в иерархии подсчета ( CH ) [ABKM09]. (В [ABKM09] указано, что можно показать, что проблема BitSLP заключается в PH ^{PP PP PP PP} .)

Членство в CH часто рассматривается как свидетельство того, что проблема вряд ли будет PSPACE-трудной, потому что равенство CH = PSPACE подразумевает, что счетная иерархия разрушается. Однако я не знаю, насколько сильным считается это доказательство.

Что касается твердости, в той же статье показано, что BitSLP # P-hard [ABKM09]. Однако доказательство там, похоже, не подразумевает какой-либо жесткости языка X в этом вопросе.

Ссылки

[ABKM09] Эрик Аллендер, Питер Бюргиссер, Йохан Кьельдгаард-Педерсен и Питер Бро Мильтерсен. По сложности численного анализа. SIAM Journal of Computing , 38 (5): 1987–2006, январь 2009 г. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

Не полный ответ, но хотя бы частичный.

Я заметил, что в двух ответах, которые появились до сих пор, не упоминается тот факт, что существует алгоритм для вычисления модульной экспоненты где - это число битов в , и где - показатель степени, соответствующий самому быстрому алгоритму умножения. Таким образом, менее значимые биты экспоненты могут быть вычислены эффективно (в или меньше).x y mod  z n z ω O ( n 3$O(n^{1+\omega})$$x^y ~\mbox{mod }z$$n$$z$$\omega$$O(n^3)$

Способ сделать это довольно прост: вы можете вычислить , , . Ясно, что , и, таким образом, , но поскольку существует только членов этого требуется только умножений.с 2 = х 2 мод  г с J = C 2 J - 1 мод  г с J = х 2 J по модулю  г х у ≡ П J с у J J по модулю  г п с J$c_1 = x$$c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$$c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$$c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$$x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$$n$$c_j$$n$

Кроме того, мы можем записать как , поэтому наиболее значимые биты, которые соответствуют примерно также можно эффективно рассчитать, так как они будут только зависит от наиболее значимого бита . ( ∑ n i = 0 2 i x i ) y 2 n y$x^y$$(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$$2^{ny}$$x$

Таким образом, единственные реальные проблемные термины вызваны битами к центру .$x^y$

[Этот ответ объясняет некоторые интересные аспекты ответа Пера Вогсена . Это не прямой ответ на вопрос ФП, но может помочь в решении таких вопросов.]

$i$$\pi$$i-1$

$i$$\pi$$\rm SC$

$\rm SC$