Можете ли вы определить сумму двух перестановок за полиномиальное время?

29

Были два вопросы недавно спросил о cs.se , которые были либо связанные или имели особый случай , эквивалентный следующему вопросу:

Предположим, у вас есть последовательность из чисел, такая что Разложите его в сумму двух перестановок, и , из , так что . $a_1, a_2, \ldots a_n$ $n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$ $\pi$ $\sigma$ $1 \dots n$ $a_i = \pi_i + \sigma_i\,$

Есть некоторые необходимые условия: если отсортированы так, что , то мы должны иметь $a_i$ $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq k (k + 1) .

$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$

Однако этих условий недостаточно. Из ответа на этот вопрос по математике, который я задал, последовательность 5,5,5,9,9,9 не может быть разложена как сумма двух перестановок (это можно увидеть, используя тот факт, что оба 1 или 5 могут только быть в паре с 4).

Итак, мой вопрос: какова сложность этой проблемы?

— Питер Шор
источник

Кстати, мне пришла в голову простая вариация, и я не уверен в ее сложности. Можете ли вы определить свободную сумму с фиксированной точкой двух перестановок за полиномиальное время? (Мы требуем, чтобы две перестановки расходятся в каждой позиции есть

для всех

)

π_{i} \neq σ_{i}

$\pi_i \ne \sigma_i$

i

$i$

— Mohammad Al-Turkistany

20

Нет, вы не можете определить сумму двух перестановок за полиномиальное время, если P = NP. Ваша задача является NP-полной, так как версия решения вашей проблемы эквивалентна NP-полной задаче Числовое сопоставление с целевыми суммами: $2$

Входные данные: последовательность целых натуральных чисел , , для $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$ $1 \le a_i \le 2n$ $1 \le i \le n$

Вопрос: Есть ли две перестановки и такие , что $\psi_1$ $\psi_2$ $\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$ для ? $1\le i \le n$

В ссылке, строго ограниченный вариант ЧИСЛЕННОГО 3-мерного сопоставления (RN3DM) оказался сильно NP-полным.

RN3DM, Учитывая мультимножеством целых чисел и целого числа такого что , существуют ли две перестановки и такие что $U = \{u_1, . . . , u_n\}$ $e$ $\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$ $\lambda$ $\mu$ $u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$ , Для ? $j = 1, . . . , n$

Существует простое сокращение от RN3DM до числового сопоставления с проблемой целевых сумм: данный пример RN3DM. Построим соответствующий экземпляр, сделав для $2$ $a_i= e-u_i$ $1 \le i \le n$

В. Ю., Х. Хогевен и Дж. К. Ленстра. Минимизация рабочего времени в поточном цехе с двумя машинами с задержками и операциями в единицу времени - трудная задача . Журнал планирования, 7: 333–348, 2004

РЕДАКТИРОВАТЬ 1 октября . Ваша проблема называется суммирования. С 1998 года он включен в ОТКРЫТЫЕ ПРОБЛЕМЫ КОМБИНАТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Стивом Хедетниеми.

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

2

Спасибо за ответ. Я ответил на одну из проблем на cs.se, которая вдохновила эту проблему (которая не была в форме, на которую прямо ответил ваш отзыв), но я думаю, что у вас должна быть первая возможность ответить на вторую, поскольку ответ дан в вашей ссылке.

— Питер Шор

Большое спасибо, Питер. Я рад, что смог вам помочь. Я думаю, что вы дадите лучший ответ. Поэтому, пожалуйста, продолжайте и ответьте на этот вопрос тоже.

— Мухаммед Аль-Туркистани

Вот формулировка проблемы, как она появилась на приведенной выше веб-странице: СУММЫ ПЕРМУТАЦИИ [Cheston, 198X] INSTANCE: Массив A [1..n] натуральных чисел. ВОПРОС: Существуют ли две перестановки r и s натуральных чисел {1,2, ..., n} такие, что для 1 <= i <= n, r (i) + s (i) = A [i] ?

— Мухаммед Аль-Туркистани

4

С другой стороны, Маршалл Холл показал, что можно легко определить разницу двух перестановок.

— анонимный лось
источник

14

Теорема Маршалла Холла применима и к сумме, но и разница, и сумма должны быть вычислены по модулю

чтобы применить его результат. По

сумма и разница являются NP-полными.

n

$n$

Z

$\mathbb{Z}$

— Питер Шор

3

@PeterShor Для полноты, пожалуйста, оставьте свой комментарий как отдельный ответ, предоставив пробный набросок NP-полноты определения разницы двух перестановок.

— Мохаммед Аль-Туркистани

3

Для полноты: предположим, что у нас есть две перестановки

и

. Тогда

также является перестановкой. Теперь, если

- мультимножество

, то

- мультимножество

ϕ

$\phi$

π

$\pi$

\bar{π} (i) = n + 1 - π (i)

$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$

ϕ + π

$\phi+\pi$

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$

ϕ - \bar{π}

$\phi-\bar{\pi}$

. Например,

нельзя представить как разность двух перестановок, поскольку

не является суммой двух перестановок.

{x_{1} - (n + 1), x_{2} - (n + 1), \dots, x_{n} - (n + 1)}

$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$

{- 2, - 2, - 2, 2, 2, 2}

$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$

{5, 5, 5, 9, 9, 9}

$\{5,5,5,9,9,9\}$

— Питер Шор