Аппроксимация знака ранга матрицы

Знаковый ранг матрицы A с элементами + 1, -1 является наименьшим рангом (по реалам) матрицы B, которая имеет такой же шаблон знака, что и A (то есть для всех i , к ). Это понятие важно в сложности общения и теории обучения.$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

Мой вопрос: существуют ли какие-либо известные (субэкспоненциальные по времени) алгоритмы, которые аппроксимируют ранговый знак матрицы с точностью до множителя ?$o(n)$

(Мне известна нижняя граница Форстера для ранга знака в терминах спектральной нормы, но это не дает отношения аппроксимации лучше, чем в целом.)$\Omega(n)$

Я считаю, что это открытый вопрос.

Ли и Шрайбман в «Алгоритме аппроксимации для ранга аппроксимации» показывают, что ранг аппроксимации может быть аппроксимирован с постоянным множителем алгоритмом полиномиального времени. Для этого они связывают полуопределенную программную величину с рангом аппроксимации, где α - некоторый конечный параметр, больший 1. Приведение α к пределу бесконечности дает ранг знака, но их результат ничего не дает в этом установка.$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

$O(n/\log n)$$d$$S$

• $M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• $S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$