Альтернативные доказательства леммы Шварца – Циппеля

Мне известны только два доказательства леммы Шварца – Циппеля. Первое (более распространенное) доказательство описано в записи википедии . Второе доказательство открыл Дана Мошковиц.

Есть ли другие доказательства, которые используют существенно разные идеи?

Вот еще одна идея, которая у меня была для геометрического доказательства. Он использует проективную геометрию существенным образом.

Пусть аффинная точка вне гиперповерхности . Спроецируйте гиперповерхность на гиперплоскость на бесконечности, используя качестве центра; то есть, отображаем каждое на , пересечение единственной прямой через и с гиперплоскостью на бесконечности. Все прообразы под точки на бесконечности лежат на одной прямой, и поэтому (снова сводя задачу к размерности 1) их большинство . Гиперплоскость на бесконечности имеет мощность, поэтому мы получаем знакомую верхнюю границу, S c x ∈ S p ( x ) c x p d | F m - 1 | | S | ≤ d | F m - 1$c \in \mathbb F^m$$S$$c$$x \in S$$p(x)$$c$$x$$p$$d$$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

В качестве продолжения ответа Пера Вогсена доказательство Даны Мошковиц уже предлагает действительно легкое доказательство только для чуть более слабой версии леммы Шварца-Циппеля, которая, как мне кажется, достаточна для большинства приложений.

Пусть - ненулевой многочлен степени , где - конечное поле порядка , и пусть быть точкой такой, что . Есть много различных прямых, проходящих через , так что они разделяют . Ограничение функции на каждую из этих линий является многомерным многочленом степени , который отличен от нуля, поскольку он ненулевой в и, следовательно, имеет не более нулей. Таким образом, общее количество нулей d F q x ∈ F n f ( x ) ≠ 0 ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) x F n - { x } f d x d f d ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) d q n - $f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$$f$$d$ $x$$d$$f$самое большее . Шварц-Циппель, для сравнения, дает более сильную верхнюю границу .$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

Учитывая легкость этого доказательства, я уверен, что это фольклор; если нет, то должно быть :) Я был бы признателен, если бы кто-то мог предоставить ссылку.

Доказательство Мошковица основано на простой геометрии, но в статье не слишком ясно об этом. Вот идея:

Степень полинома от m переменных вырезает гиперповерхность в F m . Пересечение гиперповерхности и независимой линии (т. Е. Пересечение не является всей линией) имеет не более d точек. Если вы можете найти направление, которое не зависит от гиперповерхности, вы можете расслоить F m параллельными линиями в этом направлении и считать пересечения в каждой линии. Слоение параметризовано ортогональным дополнением направления, которое является гиперплоскостью, изоморфной F m - 1 , поэтому общее число точек гиперповерхности по всей F m не превосходит d | $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$ .$d\ |F|^{m-1}$

Это говорит о том, что другие доказательства в том же духе могут работать.

Редактировать: я хотел бы немного рассказать о том, как доказательства Арнаба связаны с доказательством Мошковица. Он берет точку вне гиперповерхности и рассматривает пучок линий через эту точку. Мошковиц рассматривает семейство параллельных линий. Это кажется другим, но это действительно одно и то же! Параллельное семейство - это пучок линий через точку на бесконечности. Алгебра Арнаба применяет дословно, если вы сначала берете гомогенизацию многочлена и ограничиваетесь гиперплоскостью на бесконечности, вставляя , что уничтожает все не ведущие члены.$w = 0$

Изменить: см. Мой другой ответ для нового (но не полностью несвязанного) доказательства.

Попытка 1:

Вы смотрели на лемму А.36 (стр. 529) книги Ароры / Барака ? Это почти половина страницы, и основано на индукции.

Если у вас нет доступа к книге, я могу привести доказательства здесь.

Попытка 2:

Как насчет Любопытной Истории Леммы Шварца-Циппеля ? Среди прочих, он цитирует статью ДеМилло-Липтона , датируемую 1977 годом. Несколько других статей также названы и сравнены.

Попытка 3:

Также может представлять интерес следующая тема MathOverflow: P / poly алгоритм для проверки полиномиальной идентичности .

Лемма Шварца-Циппеля является частным случаем теоремы Ноги Алона и Золтана Фюреди, как показано в разделе 4 этой статьи: « О нулях многочлена в конечной сетке , и, следовательно, любое новое доказательство этой теоремы дает новое доказательство Шварца». -Zippel. На данный момент я знаю шесть различных доказательств, два из которых появляются в статье, а другие упоминаются там.

Теорема Алона-Фуреди гласит следующее:

$F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$ x ∈ $\min \prod y_i$$x \in A$где минимум берется по всем натуральным числам с .∑ n i = 1 y i = ∑ $y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

В этом случае, если вы предполагаете и отрабатываете минимум (который можно легко сделать, используя материал Balls in Bins, упомянутый в статье), вы получите лемму Шварца-Циппеля над полем ( домен).$\deg f < \min \#A_i$

Первоначальная формулировка леммы Шварца – Циппеля относится только к полям:

$P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Можно переформулировать лемму так, чтобы она имела смысл для произвольных коммутативных колец:

Лемма (Йержабек).
Пусть быть ненулевой многочлен полной степени над коммутативным кольцом, . Пусть - конечное подмножество с и пусть быть выбраны случайным образом независимо друг от друга и равномерно из . Тогда d ≥ 0 R S R ∀ s , t ∈ S : ( ( ∃ u ∈ R : ( u ≠ 0 ∧ s u = t u ) ) $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$$\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$ S Pr [ P ( r 1 , r 2 , … , r n ) = 0 ] ≤ $r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Преимущество доказательства из Википедии состоит в том, что оно обобщает, чтобы показать, что переформулировка верна для произвольных коммутативных колец, что было замечено и разработано Эмилем Йержабеком здесь .

Это дает альтернативное доказательство леммы Шварца-Циппеля, доказывая переформулировку для общих коммутативных колец и получая нормальную формулировку для полей в качестве следствия.