Проверка, все ли продукты из набора матриц в конечном итоге равны нулю

Меня интересует следующая задача: заданы целочисленные матрицы $A_1,A_2, \ldots, A_k$ решают, равно ли каждое бесконечное произведение этих матриц нулевой матрице.

Это означает именно то, что вы думаете, что он делает: мы будем говорить, что множество матриц обладает тем свойством, что все его произведения в конечном итоге равны нулю, если не существует бесконечной последовательности i 1 , i 2 , i 3 … , все в { 1 , … , k } , так что A i 1 A i 2 ⋯ A i l ≠ 0 для всех l .$\{A_1, \ldots, A_k\}$$i_1, i_2, i_3\ldots$$\{1, \ldots, k\}$

$$A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_l} \neq 0$$ $l$

Была ли ранее решена проблема определения того, равен ли каждый продукт нулю? Это разрешимо?

Похоже, это может быть связано с матричной смертностью, которая неразрешима, но я не вижу четкой связи.

Ваш вопрос эквивалентен ли порождает … , A k нильпотентную алгебру, что, в свою очередь, эквивалентно тому, что каждый из A i является нильпотентным. Следовательно, оно не только разрешимо, но и за время ~ O ( n 2 ω ), где ω - показатель умножения матриц.$A_1, \dotsc, A_k$$A_i$$\tilde O(n^{2 \omega})$$\omega$

Позволять - ассоциативная алгебра, порожденная A i : то есть, взять все линейные комбинации A i и все их конечные произведения. A называетсянильпотентным,если существует некоторое N такое, что каждое произведение N элементов из A равно нулю.$\mathcal{A}$$A_i$$A_i$$\mathcal{A}$$N$$N$$\mathcal{A}$

Во-первых, давайте посмотрим, почему ваше условие подразумевает, что нильпотентен. Это следует из леммы Кёнига (компактности): каждая строка длины n над алфавитом { 1 , … , k } очевидным образом соответствует произведению A 1 , … , A k длины n . Рассмотрим бесконечное k -ное корневое дерево, узлы которого естественно биективно соответствуют строкам над { 1 , … , k } . Рассмотрим поддерево $\mathcal{A}$$n$$\{1, \dotsc, k\}$$A_1, \dotsc, A_k$$n$$k$$\{1, \dotsc, k\}$$T$состоящий из тех узлов, где соответствующее произведение отлично от нуля. Лемма Кенига гласит, что если T бесконечен, то он имеет бесконечный путь (точно нарушающий ваше свойство), следовательно, T конечен. Затем мы можем принять N быть максимальная длина любой строки в T . Таким образом, ваша собственность подразумевает, что A нильпотентен.$A_i$$T$$T$$N$$T$$\mathcal{A}$

Обратное также верно, поскольку каждый элемент является линейной комбинацией произведений A i .$\mathcal{A}$$A_i$

Далее отметим, что является подалгеброй из n × n матриц и, следовательно, конечномерна.$\mathcal{A}$$n \times n$

Наконец, конечномерная ассоциативная алгебра в нулевой характеристике имеет базис нильпотентных элементов (коммутирующих или нет - это та часть, которая противоречит ответу Ювала), если она нильпотентна (см., Например, здесь ).

Таким образом, чтобы решить вашу проблему, найдите базис для ассоциативной алгебры, порожденной (по версии линейной алгебры поиска в ширину), и проверьте, что каждая матрица в базисе нильпотентна. Верхняя граница ~ O ( п 2 ω ) происходит от решения системы линейных уравнений в $A_i$$\tilde O(n^{2\omega})$ переменных в поискширину. Поскольку dim A ≤ n 2, BFS не может длиться очень долго, и поскольку это n × n- матрицы, чтобы проверить, является ли матрица A нильпотентной, нужно только проверить, что A n$n^2$$\dim \mathcal{A} \leq n^2$$n \times n$$A$ .$A^n = 0$

В 1995 году я получил многочастичный алгоритм для этой (довольно тривиальной задачи) задачи, т. Е. Для проверки того, равен ли объединенный спектральный радиус (JSR) нулю, в 1995 году: http://en.wikipedia.org/wiki/Joint_spectral_radius

Суть алгоритма примерно такова: Блондель и Цициклис ошибочно заявили, что для булевых матриц проверяется, является ли JSR <1 NP-HARD. Для любого набора целочисленных матриц JSR равен нулю эфира или больше или равен 1. Таким образом, контрпримером к их утверждению был мой алгоритм (см. Исправления к их статье). Основная мораль: сначала проконсультируйтесь с Википедией!

Задаваемый вами вопрос в точности эквивалентен решению, является ли объединенный спектральный радиус (JSR) набора матриц строго меньше единицы. Разрешимость этого вопроса остается открытой уже довольно давно. (В теории управления это эквивалентно разрешимости устойчивости коммутируемых линейных систем при произвольном переключении.)

Известно, что следующий вариант вашего вопроса неразрешим: если задан конечный набор квадратных матриц, решите, все ли продукты остаются ограниченными; смотрите здесь .

Неразрешимость вышеупомянутого остается в силе, даже если у вас есть только 2 матрицы размером 47x47: см. Здесь .

На языке JSR вопрос тестирования "является ли JSR ?" неразрешима (см. ссылки выше), но разрешимость тестирования "равна JSR < $\le 1$$< 1$ ?" открыт. Последний вопрос связан с так называемой «гипотезой рациональной конечности»: если гипотеза рациональной конечности верна, то вопрос, который вы задаете, разрешим.

Наконец, если P = NP, JSR не является аппроксимируемым за полиномиальное время (в точном смысле, определенном в этой статье ).

В результате один из ответов выше, который утверждает, что эффективный алгоритм должен быть ложным.

С положительной стороны, есть несколько алгоритмов (например, основанных на полуопределенном программировании) для аппроксимации JSR. Различные алгоритмы поставляются с разными гарантиями производительности. См., Например, следующее (бессовестно мной и моими коллегами - но см. Также ссылки там ).

В некоторых особых случаях вопрос, который вы задаете, решается за полиномиальное время. Например, когда матрицы симметричны или имеют ранг один, или если они коммутируют.

Наконец, отличная книга на эту тему заключается в следующем .

Изменить: этот ответ, к сожалению, неверный. Ошибка выделена ниже. Аргумент работает, если нам разрешено транспонировать матрицы.

Начнем с доказательства леммы.

Лемма. Пусть - матрица n × n, а N - матрица n × n с единицами на вторичной диагонали. Если A N t и N t A нильпотентны для всех t ≥ 0, то A = 0 . Правильный вывод: A верхняя треугольная с нулями на диагонали. (Исходный вывод восстанавливается, если нам также разрешено умножать на степени транспонирования N. )$A$$n\times n$$N$$n\times n$$AN^t$$N^tA$$t \geq 0$$A = 0$$A$$N$

Доказательство. Предположим, например, что , и напишите A = ( a b c d e f g h i )$n = 3$ Начнем с вычисления A N 2 : A N 2 = ( 0 0 a 0 0 d 0 0 g ) . Эта матрица имеет треугольную форму, поэтому, если A N 2 нильпотентна, то g = 0 . Продолжить с A N 1 : A N 1 = (

$$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ $AN^2$ $$AN^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g \end{pmatrix}.$$ $AN^2$$g = 0$$AN^1$ Снова матрица имеет треугольную форму, и поэтому, еслиAN1нильпотентна, тоd=h=0. Продолжая, AN0=( a b c 0 e f 0 0 i ). Как и раньше, мы заключаем, чтоа= $$AN^1 = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & h \end{pmatrix}.$$ $AN^1$$d = h = 0$ $$AN^0 = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix}.$$ , и поэтому A является верхним треугольником с нулями на диагонали.$a = e = i = 0$$A$

Если мы теперь рассмотрим вместо этого, то мы заключим, что A является нижней треугольной с нулями на диагонали. На самом деле, мы не получаем ничего нового от рассмотрения N т A . Следовательно, А = 0 . $N^2A,N^1A,N^0A$$A$$N^tA$$A = 0$$\square$

$A_1,\ldots,A_k$$i_1,\ldots \in [k]$$A_{i_1} \cdots A_{i_m} = 0$$m$$A_i$$A_1 A_2 \neq A_2 A_1$$A_1$$V_1 \oplus \cdots \oplus V_t$$V_i$$A_1 A_2 \neq A_2 A_1$$\dim V_i > 1$$0$$V_i$$A_1 = N$$A_2 \neq 0$$t \geq 0$$A_2 A_1^t$$A_1^t A_2$

Резюмируя, свойство P имеет место тогда и только тогда, когда все матрицы нильпотентны и все они коммутируют.