Сложность проблемы интервального покрытия

Рассмотрим следующую задачу $Q$ : Нам дано целое число и k интервалов [ l i , r i ] с 1 ≤ l i ≤ r i ≤ 2 n . Нам также даны 2 n целых чисел d 1 , … , d 2 n ≥ 0 . Задача состоит в том, чтобы выбрать минимальное количество интервалов [ l i , r i$n$$k$$[l_i,r_i]$$1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$$2n$$d_1,…,d_{2n}\geq 0$$[l_i,r_i]$так что для каждого выбираются как минимум d i интервалы, содержащие целое число i .$i=1,…,2n$$d_i$$i$

Нетрудно понять, что можно решить за полиномиальное время (см. Ниже).$Q$

Теперь рассмотрим следующую слегка модифицированную задачу $Q’$ : ввод задачи такой же, как и раньше. Однако теперь задача состоит в том, чтобы выбрать минимальное количество интервалов, чтобы для каждого не менее d 2 i - 1 интервалов, содержащих целое число 2 i - 1, или как минимум d 2 i интервалов, содержащих целое число 2 Я выбран («или» мы имеем в виду обычное логическое или).$i=1,…,n$$d_{2i-1}$$2i-1$$d_{2i}$$2i$

Мой вопрос: можно ли решить за полиномиальное время?$Q’$

Вот два способа эффективного решения :$Q$

Простой жадный алгоритм: пролистайте интервалы слева направо и выберите только те интервалы, которые необходимы для «удовлетворения» чисел . Всякий раз, когда есть выбор между различными интервалами, выбирайте один или несколько интервалов с максимальной правой конечной точкой.$d_i$

Целочисленная программа: для каждого интервала ввести переменную решения x i ∈ { 0 , 1 } с x i = 1, если интервал выбран. Цель состоит в том, чтобы минимизировать x 1 + … + x k с учетом ограничений ∑ j : i ∈ [ l j , r j ] x j ≥ d $[l_i,r_i]$$x_i\in\{0,1\}$$x_i=1$$x_1+…+x_k$$\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$, Матрица ограничений этой целочисленной программы обладает свойством последовательных единиц, и, следовательно, линейная программная релаксация этой программы имеет целочисленное оптимальное решение.

Спасибо за любые подсказки, а также за ссылки!

Каждый экземпляр Q может быть преобразован в экземпляр Задачи покрытия множества множеств, где местоположениями являются интервалы , охватывающие последовательную последовательность точек спроса (= целые числа d i ).$[l_i,r_i]$$d_i$