Проблема экзаменатора (единообразная генерация SAT-решений / ответов)

Помощник преподавателя курса сумел написать программу, которая (детерминистически) генерирует сложные экзаменационные вопросы. Теперь она хотела бы написать программу, которая генерирует соответствующие ответы. Проблема Ревизора спрашивает, всегда ли это возможно; в ГИПОТЕЗА экзаменатора утверждает , что, если предположить, , это не : придумывают проблемы легче , чем придумывать свои решения.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Более формально: пусть - детерминированная машина Тьюринга, которая на входе генерирует за полиномиальное время булеву формулу размера . Я хотел бы знать , если для всех таких существует детерминированный полиномиальный времени машина Тьюринга , что на входе , выходы„ “ , если имеет удовлетворяющую назначение и" " в противном случае.1 n n M M ′ 1 n 1 M ( 1 n ) $M$$1^n$$n$$M$$M'$$1^n$$1$$M(1^n)$$0$

Предполагая, что , этот вопрос уже был задан или получен ответ? Если нет ответа, какие дополнительные допущения ( например, односторонние функции?) Могут повлиять на результат? Если исключить любое из вышеперечисленного, моя «гипотеза» заключается в том, что «отвечающая» ТМ не всегда существует, но какова ваша интуиция?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Благодаря!

Вопрос, который вы задаете, эквивалентен унарному NP = унарному P, который, в свою очередь, эквивалентен NE = E путем заполнения.

Из заголовка, возможно, вы хотели спросить, можно ли сгенерировать пары ввода / вывода так, чтобы распределение на входах было «жестким». Возможность сделать это лежит где-то между P NP и односторонними функциями.$\ne$

В ограниченных вычислительных моделях известно, что это возможно. Например, можно генерировать пары ввода / вывода для функций четности или большинства в AC 0 или ниже. См . Сложность дистрибутивов .$^0$

Вопрос: Пусть порождает формулы. Имеет ли { М ( 1 л ) | п ∈ N ∧ М ( 1 л ) ∈ S Т } принадлежат P ?$M\in \mathsf{PF}$$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$

$succinctSAT \in \mathsf{E} \implies$ Да:

Предположение о генерации формул за полиномиальное время от означает, что формула может быть кратко задана. Вы хотите определить их выполнимость во времени n O ( 1 ) .$1^n$$n^{O(1)}$

Учитывая мы можем найти n за полиномиальное время в | φ | , Тогда φ можно сформулировать кратко в lg n + O ( 1 ) битах, используя M и n . Мы можем использовать наши S U с с я п т С ТОГО алгоритмом в Е , чтобы решить это во время - О ( Л.Г. п ) = п $\varphi = M(1^n)$$n$$|\varphi|$$\varphi$$\lg n+O(1)$$M$$n$$succintSAT$$\mathsf{E}$ .$2^{O(\lg n)} = n^{O(1)}$

да :$\implies succinctSAT \in \mathsf{E}$

Пусть й дан контур С в Унарном , М вычисляет строку сжатой формы , кодируемый C , и возвращает результат , если это формула и ⊥ в противном случае.$M \in \mathsf{PF}$$C$$M$$C$$\bot$

Предположим , что принадлежат Р . Для решения S U с с я н гр т S A T запишем данную сжатую формулу в Унарный , а затем использовать наше предположение , чтобы решить эту проблему.$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$$succinctSAT$

Вопрос: Можем ли мы генерировать в полиномиальном времени пары экземпляр-решение для , чтобы экземпляр был сложным?$SAT$

Мы должны уточнить, что мы подразумеваем под тем, что экземпляр является сложным, так как любой экземпляр сам по себе (теоретически) прост, поскольку его можно решить с помощью алгоритма, который всегда говорит «да», или алгоритма, который всегда говорит «нет». Мне кажется, что вы пытались обойти эту проблему, навязывая единообразие. Думая в криптографических терминах, без какой-либо информации, которая не раскрывается злоумышленнику, нет смысла прятать остальную часть вычислений, поскольку злоумышленник может смоделировать протокол.

Предположим, что у нас есть алгоритм полиномиального времени, который генерирует пары экземпляр-решение. Противник может использовать тот же алгоритм, чтобы найти ответ, если он знает и найти n несложно по формуле. Более разумный способ - использовать случайно выбранный секретный ключ, чтобы обойти это и ослабить условие твердости, чтобы оно было вероятностным: ни один алгоритм за полиномиальное время не может найти решение с высокой вероятностью (без знания секретного ключа).$n$$n$

Существует ли эффективные (детерминированный) алгоритм таким образом, что дано случайно выбранный к ∈ { 0 , 1 } п , генерирует пару из SAT экземпляры ф к и его ответу ш к таким образом, что не эффективно (вероятностный / неоднородный) алгоритм состязательного D можно правильно решить SAT-экземпляры, сгенерированные A, с ничтожной вероятностью?$A$
$k \in \{0,1\}^n$
$\varphi_k$$w_k$
$D$
$A$

Или более формально,

Существует ли такой, что для всех D ∈ P / p o l y , такой, что S A T ( A ( k ) 1 ) = A ( k ) 2 для всех k и P r k ∈ { 0 , 1 } n { D ( A ( k ) 1 ) = S A $A\in \mathsf{PF}$$D \in \mathsf{P/poly}$$SAT(A(k)_1) = A(k)_2$$k$

$$\mathsf{Pr}_{k \in \{0,1\}^n} \{ D(A(k)_1) = SAT(A(K)_1) \} < \frac{1}{poly(n)}$$

Легко видеть, что такую ​​функцию можно превратить в одностороннюю функцию, как если бы было легко найти из φ k, тогда мы можем найти ответ, вычислив A ( k ) 2 .$k$$\varphi_k$$A(k)_2$

С другой стороны, пусть - односторонняя функция. Мы можем выразить f ( x ) = y как схему полиномиального размера, так как f вычислима за полиномиальное время (и мы можем превратить ее в формулу, вводя новые переменные для всех вентилей и локально применяя условие для правильности вычисления как в переводе Цзяня). Рассмотрим y как параметр и обозначим полученную формулу как φ f , y ( x ) . Мы можем спросить, существует ли x, удовлетворяющий φ f , y ( x $f$$f(x)=y$$f$$y$$\varphi_{f,y}(x)$$x$$\varphi_{f,y}(x)$, Любой алгоритм за полиномиальное время, решающий эти экземпляры с пренебрежимо малой вероятностью, нарушит одностороннюю функцию f . Однако здесь используется тот факт, что противник должен найти свидетеля, а не только тот факт, что формула выполнима или нет (но я думаю, что мы можем обойти эту проблему, используя жесткую часть f ).$SAT$$f$$f$

См. Также главы 29 и 30 книги Яна Крайчека «Форсирование со случайными переменными», 2011 год, о генераторах сложности доказательств .