Основные нерешенные проблемы в теоретической информатике?


218

Википедия перечислены только две проблемы под «нерешенных проблем в области информатики» :

Какие еще основные проблемы следует добавить в этот список?

Правила:

  1. Только одна проблема в ответе
  2. Предоставьте краткое описание и любые соответствующие ссылки

1
Поскольку вы запрашиваете список, а единого ответа нет, это может работать лучше, если оно помечено как вики сообщества.
Даниэль Апон

2
Одна нерешенная проблема в ответе, пожалуйста; тогда мы можем легко оценить ответы, проголосовав вверх / вниз!
Юкка Суомела

15
Почему только сложность результатов? В TCS есть больше, чем сложность! Нет открытых проблем в теории типов? языки программирования?
Жак Каретт

3
добавь их, Жак :).
Суреш Венкат

8
Я думаю, что мы должны различать основные открытые проблемы, которые рассматриваются как фундаментальные проблемы, такие как , и основные открытые проблемы, которые будут представлять собой технический прорыв, если они будут решены, но не обязательно являются такими фундаментальными, например, экспоненциальные нижние оценки цепей (то есть, вентилей). Поэтому нам, возможно, следует открыть новую вики сообщества под названием «Открытые проблемы на границах TCS» или тому подобное. A C 0 ( 6 )PNPAC0(6)AC0+mod6
Иддо Цамерет

Ответы:


137

Можно ли умножить на матриц в операциях?n O ( n 2 )nnO(n2)

Показатель самой известной верхней границы даже имеет специальный символ . В настоящее время составляет приблизительно 2.376 по алгоритму Копперсмита-Винограда . Хорошим обзором современного уровня является Сара Робинсон, « На пути к оптимальному алгоритму умножения матриц» , SIAM News, 38 (9), 2005.ωωω

Обновление: Эндрю Стотерс (в своей диссертации 2010 года ) показал, что , который был улучшен Вирджинией Васильевской Уильямс (в препринте в июле 2014 года ) до . Обе эти границы были получены путем тщательного анализа основной техники Копперсмита-Винограда.ω < 2,372873ω<2.3737ω<2.372873

Дальнейшее обновление (30 января 2014 г.): Франсуа Ле Галль доказал, что в статье, опубликованной в ISSAC 2014 ( препринт arXiv ).ω<2.3728639


Как насчет скромной и реалистичной цели или какой-либо другой функции между и ? В конце концов ожидается, что целочисленное умножение имеет нижнюю границу . n 2 + ϵ n 2 O ( n log n )O(n2logn)n2+ϵn2O(nlogn)
Митч

Я не уверен, что переход от к считается «скромной и реалистичной целью», не говоря уже о том, чтобы ниже . Но было бы здорово увидеть некоторый прогресс, так что попробуйте! 2 + ϵ 2 + ϵ2+0.3762+ϵ2+ϵ
Андрас Саламон

13
Показатель умножения матриц определяется как наименьшее действительное число такое, что арифметических операций достаточно для всех . Вероятно, следует ожидать такой фактор, как . O ( n ω + ϵ ) ϵ > 0 log nωO(nω+ϵ)ϵ>0logn
Зейю

2
Просто добавляю для полноты знания о том, что CW-связка была улучшена несколько дней назад Вирджинией Уильямс. И, как отметили многие другие в сообществе, Эндрю Стотерс получил свое обязательство, победив CW примерно за год до Вирджинии. Текущая записьO(n2.373)
Акаш Кумар

Я просто позволю это здесь research.microsoft.com/en-us/um/people/kannan/papers/…
ворон

123

Изоморфизм графов в P?

Сложность графа изоморфизма (GI) была открытым вопросом в течение нескольких десятилетий. Стивен Кук упомянул это в своей статье 1971 года о NP-полноте SAT .

Определение того, являются ли два графика изоморфными, обычно можно быстро выполнить, например, с помощью таких программ, как nautyи saucy. С другой стороны, Миядзаки построил классы экземпляров, для которых nautyдоказуемо требуется экспоненциальное время.

Рид и Корнейл рассмотрели множество попыток справиться со сложностью ГИ до этого момента: болезнь изоморфизма графов , журнал теории графов 1 , 339–363, 1977.

GI, как известно, не находится в co-NP, но существует простой рандомизированный протокол для неизоморфизма графов (GNI). Поэтому считается, что GI (= co-GNI) «близок» к NP co-NP.

С другой стороны, если GI NP-полон, то полиномиальная иерархия разрушается. Так что GI вряд ли будет NP-завершенным. (Boppana, Håstad, Zachos. Имеет ли co-NP короткие интерактивные доказательства?, IPL 25 , 127–132, 1987)

Шива Кинтали хорошо обсуждает сложность GI в своем блоге.

Ласло Бабай доказал, что граф Изоморфизм находится в субэкспоненциальном времени .


Пожалуйста, взгляните и на эту запись .
MS Dousti

Я проверил точную нижнюю границу для общего определения автоморфизма грубой силы. oeis.org/A186202 Гораздо меньше, чемно все еще экспоненциальный. Надеясь, что Маккей свяжет его с Schrier-Sims для своего последнего воплощения NAUTY, чтобы он работал на параллельном оборудовании. n!
Чад Brewbaker


4
Требование было восстановлено: people.cs.uchicago.edu/~laci/update.html
17

91

Известны ли вам хорошие публикации, описывающие сложность факторинга или тестирования простоты в терминах структуры полугруппы преобразований сложения и умножения на Z_n? Например, в [0,1,2] - это преобразование +0 | x1, [1,2,0] - это преобразование +1 ...Z3
Чад Брюбейкер


66

Существует ли правило поворота для симплексного алгоритма, которое выдает наихудший случай времени полинома? В более широком смысле, существует ли сильно полиномиальный алгоритм для линейного программирования?


11
Я добавлю к этому вопросу: означает ли отсутствие несуществования сильно полиномиального ЛП какие-либо результаты разделения классов?
Ананд Кулькарни

,, и гипотеза Гирша ...
Сариэль Хар-Пелед

7
В 2011 году Оливер Фридманн показал экспоненциально нижние границы для многих правил поворота (он фактически утверждает, что «по существу все естественные» правила поворота, в том числе Random Facet и Random Edge). Эти границы применяются при решении линейной программы, основанной на играх с четностью 2 игроков. Тезис Фридмана edoc.ub.uni-muenchen.de/13294 подробно рассматривает историю (включая различные формы гипотезы Гирша и контрпример 2010 г. к сильной форме Франсиско Сантоса).
Андрас Саламон

63

Гипотеза об экспоненциальном времени (ETH) утверждает, что для решения SAT требуется экспоненциальное время 2 Ω (n) . ETH подразумевает много вещей, например, что SAT отсутствует в P, поэтому ETH подразумевает P ≠ NP. См. Impagliazzo, Paturi, Zane, Какие проблемы имеют сильно экспоненциальную сложность? , JCSS 63, 512–530, 2001.

ETH широко распространено мнение, но, вероятно, будет трудно доказать, так как оно подразумевает много других разделений классов сложности.


4
Серьезно, я бы не назвал ETH серьезной открытой проблемой на данный момент именно потому, что она подразумевает P ≠ NP и, следовательно, по крайней мере так же трудно доказать.
Хольгер

17
Нет? ИМХО, ваш аргумент подразумевает, что ETH является еще более серьезной открытой проблемой, чем PvsNP.
Джефф

Не могли бы вы объяснить, почему не подразумевает ETH? PNP
Эмиль

13
Если , то , но ETH ложно. P N PNP=PTIME(nlogn)PNP
Джефф

3
Ах хорошо. Но вы имеете в виду DTIME ( )? nlogn
Эмиль

59

Иммерман и Варди показывают, что логика с фиксированной точкой захватывает PTIME в классе упорядоченных структур. Одна из самых больших открытых проблем в теории описательной сложности состоит в том, может ли быть удалена зависимость от порядка:

Есть ли логика, которая фиксирует PTIME?

Проще говоря, логика захвата PTIME - это язык программирования для задач с графами, который работает непосредственно над структурой графов и не имеет доступа к кодированию вершин и ребер, так что выполняется следующее:

  1. любая синтаксически правильная программа моделирует задачу вычислимого графа за полиномиальное время и
  2. любая проблема вычислимого графа за полиномиальное время может быть смоделирована синтаксически правильной программой.

Если нет логики, которая захватывает PTIME, то так как NP захватывается экзистенциальной логикой второго порядка. Логика захвата PTIME обеспечит возможную атаку на P против NP.PNP

См. Неформальную дискуссию в блоге Липтона, а М. Гроше: в поисках логического захвата PTIME (LICS 2008) для более технического обследования.


3
Иммерман-Варди показывает, что FO (LFP) захватывает логику на <i> упорядоченных </ i> структурах, так что это вопрос о захвате PTIME на произвольных конечных моделях, я так понимаю. Если я вас правильно понимаю, не является ли этот вопрос переводом вопроса о том, является ли P! = NP? Возможно, стоит задать одну или несколько открытых проблем в опросе, на который вы ссылаетесь. Извиняюсь, если я здесь невежественен.
Аарон Стерлинг

5
Спасибо, я отредактировал ответ, чтобы упомянуть Иммермана-Варди для разъяснения. Нет, эта открытая проблема, как известно, не эквивалентна P против NP. Открытые проблемы в обзоре являются частными случаями большой открытой проблемы и не подходят в этой теме. Может быть, эта ссылка также полезна: rjlipton.wordpress.com/2010/04/05/…
Хольгер,

55

Верна ли гипотеза об уникальных играх ?
И: Учитывая, что для Уникальных Игр существуют субэкспоненциальные алгоритмы аппроксимации по времени , где проблема в конечном итоге лежит в плане сложности?


Разве не было бы более точным сказать, что если UGC не соответствует действительности (то есть уникальные игры не являются NP-сложными, просто сложнее, чем P), где UGC вписывается в ландшафт?
Андрас Саламон

К сожалению. Да, я должен перефразировать это. Мое намерение состояло в том, чтобы подчеркнуть очевидное несоответствие, которое является результатом уникальных игр, имеющих нетривиальный алгоритм приближения за субэкспоненциальное (но не совсем полиномиальное) время. Более того: Что это говорит, если субэкспоненциальное время выполнения оптимально для уникальных игр?
Даниэль Апон

2
Оглядываясь назад, я подумал, что должен включить указатель на этот препринт . На мой взгляд, это такая же большая разработка, как и статья, которую я привел в ответе.
Даниэль Апон

1
Стоит отметить, что нет известных трудных случаев UCG. Текущий лучший подход работает эффективно в каждом тестируемом случае. Мы просто не можем доказать, что нашли самые патологические примеры.
Стелла Бидерман

55

Постоянный против детерминанта

Постоянный и детерминантный вопрос интересен из-за двух фактов. Во-первых, перманент матрицы подсчитывает количество совершенных совпадений в двудольном графе. Следовательно, перманент такой матрицы # P-Complete. В то же время определение перманента очень близко к определению детерминанта, и в конечном итоге оно отличается только из-за простого изменения знака. Общеизвестно, что детерминантные вычисления приведены в P. Изучение различий между перманентом и детерминантом и того, сколько вычислений детерминанта требуется для вычисления перманента, говорят о P по сравнению с #P.


5
Для меня это не квалифицируется как «большая открытая проблема», потому что теоретический вопрос о реальной сложности (имеют ли они разную сложность) включается в P = NP (поскольку #P является надмножеством NP) и этот вопрос отложен в сторону Здесь нет конкретной проблемы.
Дэвид Эппштейн

Я на самом деле согласен с этим.
Росс Снайдер

10
@DavidEppstein: Per v. Det ближе к GapP v GapL, счетному аналогу NP v NL. Возможно, что и, следовательно, . Кроме того, per v det намного старше P v NP, по сути, возвращаясь к [Polya 1913], в котором он показывает, что нельзя прикреплять знаки к матрице, чтобы изменить ее перманент на его определитель (кроме 2x2). Валиант представил вариант по этим вопросам (допускающий, чтобы размер det был больше n) из-за его значимости в сложности, но даже работы, предшествующие Valiant, дают мотивацию «потому что перманент так сложно вычислить ...» (например, Гибсон 1971)G a p P G a p LNLP=NPGapPGapL
Джошуа Грохов

Каковы современные алгоритмы для вычисления перманента матрицы 0-1? то есть количество допустимых матриц перестановок, которые вы можете сгенерировать из подмножества единиц.
Чад Brewbaker

@ChadBrewbaker: см. Марк Джеррум, Алистер Синклер, Эрик Вигода, «Алгоритм аппроксимации полиномиального времени для перманента матрицы с неотрицательными записями », Журнал ACM 51/4 (2004), 671, citeseerx.ist. psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.141.116
Зсбан Амбрус

47

Можем ли мы вычислить БПФ за намного меньшее, чем время?O(nlogn)

В том же (очень) общем ключе есть много вопросов по улучшению времени выполнения многих классических задач или алгоритмов: например, можно ли решить все пары по кратчайшим путям (APSP) в время?O(n3ϵ)

Изменить: APSP выполняется во времени ", где добавления и сравнения реалов являются удельной стоимостью (но все другие операции имеют типичные логарифмическая стоимость) ": http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf(n32Ω(logn)1/2)


3
Интересное развитие FFT: «* алгоритм O (k log n) -времени для случая, когда входной сигнал имеет не более k ненулевых коэффициентов Фурье, и * An O (k log n log (n / k)) алгоритм для общих входных сигналов. " источник: arxiv.org/abs/1201.2501v1
Шадок

46

Гипотеза динамической оптимальности для сплайных деревьев.

Или в более общем плане: является ли любое динамическое двоичное дерево поиска O (1) онлайн-конкурентным?


почти все
Суреш Венкат

Существуют также более поздние деревья молний , которые O (lg lg n) конкурентоспособны без потери времени доступа O (lg n) в худшем случае.
Jbapple


44

NP против со-NP

Вопрос NP против co-NP интересен, потому что NP ≠ co-NP подразумевает P ≠ NP (так как P замкнуто относительно дополнения). Это также относится к «двойственности»: разделение между поиском / проверкой примеров и поиском / проверкой контрпримеров. Фактически, доказательство того, что вопрос находится как в NP, так и в совместном NP, является нашим первым хорошим доказательством того, что проблема, которая, кажется, находится за пределами P, также, вероятно, не является NP-Complete.


7
Это также связано с пропозициональным доказательством сложности. Существует полиномиальная пропозициональная система доказательств, если равен . c O N PNPcoNP
Каве

41

Существуют ли проблемы, которые не могут быть эффективно решены с помощью параллельных компьютеров?

Проблемы, которые являются P-полными, не известны как распараллеливаемые. P-complete проблемы включают Horn-SAT и линейное программирование. Но доказательство того, что это так, потребует отделения некоторого понятия распараллеливаемых задач (таких как NC или LOGCFL) от P.

Конструкции компьютерных процессоров увеличивают количество процессоров, в надежде, что это приведет к повышению производительности. Если фундаментальные алгоритмы, такие как линейное программирование, по своей сути не распараллеливаются, то это имеет существенные последствия.


16
Я почти уверен, что алгоритмы LP, как они существуют сегодня, не распараллеливаются. Я считаю, что они вписываются в модель оперативной памяти Малмулей. В dx.doi.org/10.1137/S0097539794282930 К. Малмулей. Нижние границы в параллельной модели без битовых операций. SIAM J. Comput. 28 (4), 1460-1509 (1999) он показывает, что в этой модели, показывая, что многие естественные (обычно числовые) алгоритмы для полных задач не распараллеливаются. Это не отвечает на вопрос в булевом случае, но отвечает на большой класс естественных алгоритмов. PPNCP
Джошуа Грохов

41

У всех ли пропозициональных тавтологий есть доказательства Фреге полиномиального размера?

Возможно, главная открытая проблема сложности доказательств : продемонстрировать нижние оценки суперполиномиального размера на пропозициональных доказательствах (называемых также доказательствами Фреге).

Неформально система доказательств Фреге - это просто стандартная система пропозициональных доказательств для доказательства пропозициональных тавтологий (каждый учится на базовом курсе логики), имеющая аксиомы и правила вывода, где линии доказательства записываются в виде формул. Размером из доказательства Фрега является количеством символов , он принимает , чтобы записать доказательство.

Проблема тогда спрашивает , есть ли семья пропозициональных тавтологических формул , для которых нет полинома таким образом, что минимальный Фрег доказательства размера не превосходит , для всех (где обозначает размер формулы ).(Fn)n=1pFnp(|Fn|)n=1,2,|Fn|Fn


Формальное определение системы доказательства Фреге

Определение (правило Фреге) Правило Фреге - это последовательность пропозициональных формул для , записанная как . В случае правило Фреге называется аксиомной схемой . Формула называется производной по правилу от если - все экземпляры подстановки , для некоторого назначения переменным (то есть есть формулы A0(x¯),,Ak(x¯)k0A1(x¯),,Ak(x¯)A0(x¯)k=0F0F1,,FkF0,,FkA1,,Akx¯B1,,Bn такой, что для всех . Правило Фреге считается обоснованным, если всякий раз, когда присвоение удовлетворяет формулам в верхней части , то оно также удовлетворяет формуле в нижней части .Fi=Ai(B1/x1,,Bn/xn),i=0,,kA1,,AkA0

Определение (доказательство Фреге). При заданном наборе правил Фреге доказательство Фреге представляет собой последовательность формул, в которой каждая линия доказательства является либо аксиомой, либо была получена по одному из данных правил Фреге из предыдущих линий доказательства. Если последовательность заканчивается формулой , то доказательство , как говорят, является доказательством . Размером из доказательства Фрега является общим размером всех формул в доказательстве.AA

Доказательство система называется implicationally полным , если для всех набора формул , если семантически означает , то есть доказательство с помощью (возможно) аксиомы из . Система доказательств называется надежной, если она допускает доказательства только тавтологий (когда не используются вспомогательные аксиомы, как в выше).TTFFTT

Определение (система доказательств Фреге). Учитывая язык высказываний и конечное множество нормальных правил Фреге, мы говорим, что - система доказательств Фреге, если импликационно полон.PPP

Обратите внимание, что доказательство Фреге всегда обоснованно, поскольку правила Фреге считаются надежными. Нам не нужно работать с конкретной системой доказательства Фреге, поскольку базовый результат в сложности доказательства утверждает, что каждые две системы доказательства Фреге, даже на разных языках, являются полиномиально эквивалентными [Reckhow, кандидатская диссертация, Университет Торонто, 1976].


Установление нижних оценок доказательств Фреге можно рассматривать как шаг к доказательству , поскольку, если это так, то ни одна система пропозициональных доказательств (включая Фреге) не может иметь полиномиальных доказательств размера для всех тавтологий.NPcoNP


38

Можем ли мы вычислить расстояние редактирования между двумя строками длины за субквадратичное время, то есть за время для некоторого ?nO(n2ϵ)ϵ>0


8
У вас есть ссылки на это? Я на самом деле думал, что это предположение было тривиально ложным, хотя я не могу придумать доказательства на макушке. (Хотя я знаю, что время выполнения может зависеть от количества ошибок.)
Конрад Рудольф,

5
Обновление (STOC 2015): Backurs и Indyk свидетельствуют о том, что время лучше, чем квадратичное, невозможно. См. Rjlipton.wordpress.com/2015/06/01/puzzling-evidence .
Нил Янг

38

Существуют ли действительно субквадратичные алгоритмы времени (то есть времени для некоторой константы ) для 3SUM-сложных задач ?O(n2δ)δ>0

В 2014 году Грёнлунд и Петти описали детерминистический алгоритм для самого 3SUM, который работает за время . Хотя это основной результат, улучшение по сравнению с является только (суб) логарифмическим. Более того, аналогичные субквадратичные алгоритмы не известны для большинства других 3SUM-сложных задач.О ( п 2 )O(n2/(logn/loglogn)2/3)O(n2)


9
Хороший вопрос. Однако существование субквадратичных алгоритмов для задачи 3SUM широко открыто даже для рандомизированных алгоритмов. Конечно, детерминистический алгоритм был бы еще лучше ..
Петр

3
В квантовом случае известны совпадения n log (n) нижней и верхней границ для 3SUM: Андрей Дубровский, Оксана Щегульная-Дубровская Улучшенные квантовые нижние оценки для задачи 3-Sum. Труды Baltic DB & IS 2004, вып. 2, Рига, Латвия, с.40-45.
Мартин Шварц

1
У меня сложилось впечатление, что у нас нет n ^ 2 нижней границы для любой проблемы в NP.
Сариэль Хар-Пелед

1
У меня сложилось четкое впечатление, что если вы ограничены проблемами решения (без выходных аргументов), то ничего не известно. Но вы действительно должны спросить человека сложности.
Сариэль Хар-Пелед

3
В недавней статье arXiv утверждается, что он решил эту гипотезу, предоставив субквадратичные алгоритмы для 3-SUM.
Мангара

35

BQP = P?

Также: NP содержится в BQP?

Я знаю, что это нарушило правила, имея в ответе два вопроса, но когда они взяты вместе с вопросом P против NP, они не обязательно являются независимыми вопросами.


33
  1. Гипотеза об изоморфизме. (Являются ли все NP-полные проблемы «одной и той же» проблемой?)
  2. Может ли криптография основываться на NP-полной проблеме?

  3. и немного дальше от основного направления:

  4. Каков размер NP в EXP?

(Неофициально, если у вас есть все проблемы в EXP на столе, и вы случайно выбираете один случайным образом, какова вероятность того, что выбранная вами проблема также есть в NP? Этот вопрос был формализован понятием меры, ограниченной ресурсами Известно, что P имеет нулевой показатель в EXP, т. Е. Проблема, которую вы выбрали из таблицы, почти наверняка не в P.)


Это то же самое, что p-мера в зоопарке сложности? Куда мне пойти, чтобы узнать больше об этом?
Андрас Саламон

2
P-мера является одним из примеров меры, ограниченной по ресурсам: в более общем смысле вы можете представить себе машину, пытающуюся предсказать последовательность, и вычислительные ресурсы, которые она имеет для этого, являются тем, что обеспечивает привязку ресурса к мере. Я использовал p-measure в своем неофициальном объяснении EXP на столе. Для дальнейшего чтения я рекомендую журнальную версию следующего опроса Лутца (CZ цитирует конференционную версию этого опроса). cs.iastate.edu/~lutz/=PAPERS/qset.ps (надеюсь, что в постскриптуме все в порядке)
Аарон Стерлинг

Благодарю. Вот PDF этого документа для тех, кто не умеет читать PS: archives.cs.iastate.edu/documents/disk0/00/00/01/28/00000128-01/…
Андрас Саламон

2
Да, на ваш первый вопрос. P имеет меру 0 в EXP, поэтому если NP не имеет, вы сразу получаете P! = NP. Что касается второго вопроса, я предлагаю вам прочитать последний абзац страницы 28 в опросе Андраса, и я связался с ним. (Недостаточно места в комментарии, чтобы вставить его сюда, извините.) По сути, если NP имеет нулевую меру, существует выполнимый алгоритм, который мог бы угадать членство в NP-трудной задаче «необоснованно». Таким образом, кажется вероятным, что NP не является мерой ноль в EXP.
Аарон Стерлинг

1
@Artem: вы могли бы начать здесь: blog.computationalcomplexity.org/2003/03/…
Аарон Стерлинг

29

Какова приближенность метрической TSP ? Алгоритм Кристофидеса 1975 года является алгоритмом аппроксимации полиномиального времени (3/2). NP-трудно сделать лучше?

  • Приближение показателя TSP к показателям с коэффициентом меньше 220/219 является NP-сложным (Papadimitriou and Vempala, 2006 [PS] ). Насколько мне известно, это самая известная нижняя граница.

  • Есть некоторые свидетельства того, что фактическая граница может быть 4/3 (Carr and Vempala, 2004 [Бесплатная версия] [Хорошая версия] ).

  • Верхняя граница аппроксимируемости была недавно снижена до (Mucha 2011 "13/9 -приложение для графического TSP" [ PDF ])13/9


1
Метрический TSP недавно сделан 3/2 - е, где е постоянна (около 0,002)
Saeed

1
некоторые обсуждения метрики TSP о потерянном письме
Годеля

2
@ Seed, вы имели в виду алгоритм только для частного случая Metric TSP: для Graphic TSP? Затем он был улучшен до 13/9 Мухой. Кажется, что 3/2 - самая известная верхняя граница для метрической TSP.
Алексей Головнев

@AlexGolovnev, Привет, Алекс, Да, но мой комментарий был еще до выхода новой статьи;) (Я тогда видел статью Овейса Гарана).
Саид

28

Дайте явную функцию с показательной сложностью схемы.

Шеннон доказал в 1949 году, что если вы случайно выберете булеву функцию, она будет иметь экспоненциальную сложность схемы с вероятностью, почти равной единице.

Лучшая нижняя граница для явной булевой функции мы имеем до сих пор, равна К. Ивамы, О. Лахиша, H Морицуми и Р. Раз.5 n - o ( n )f:{0,1}n{0,1}5no(n)


11
Такой способ постановки проблемы всегда вызывает у меня проблемы, потому что вы должны быть осторожны с тем, что вы подразумеваете под «явным». Легко написать описание функции, которая имеет экспоненциальную сложность схемы. Если «явный» означает «вычислимый за экспоненциальное время или меньше», то я согласен, это серьезная открытая проблема.
Райан Уильямс

1
Райан, ты прав. Это чрезвычайно важный момент. Также легко записать описание невычислимой функции. В статье, которую я цитирую, нижняя оценка доказана для функции, которая конструктивна за детерминированный полиномиальный момент времени.
Марк

Есть ли хорошая экспозиция о работе Шеннон?
T ....

3
Аргумент подробно в следующих пояснениях лекции: math.tau.ac.il/~zwick/scribe-boolean.html
Marc

Это отличная проблема, и она возвращает мне приятные воспоминания о том, что мне прислали результат Шенон на втором курсе университета.
Стелла Бидерман

27

Какова сложность запроса тестирования свободы от треугольников в плотных графах (т. Е. Отличать графы без треугольников от этих -far от свобод от треугольников)? Известная верхняя граница представляет собой башню экспонент в , в то время как известная нижняя граница является лишь слегка суперполиномиальной в . Это довольно простой вопрос в теории экстремальных графов / аддитивной комбинаторике, который был открыт в течение почти 30 лет.1 / ϵ 1 / ϵϵ1/ϵ1/ϵ


27

Отдельный NEXP от BPP. Люди склонны верить, что BPP = P, но никто не может отделить NEXP от BPP.


26

Я знаю, что ОП запрашивал только одну проблему на пост, но конференции RTA (методы переписывания и их приложения) 1 и TLCA (типизированные лямбда-исчисления и их приложения) поддерживают списки открытых проблем в своих областях 2 . Эти списки весьма полезны, так как они также включают указатели на предыдущую работу, проделанную для решения этих проблем.


1
Нет проблем. Кто-нибудь знает другие подобные списки с других конференций? Их довольно интересно читать.
Доминик Маллиган

26

Дерандомизация задачи проверки полиномиальной идентичности

Проблема заключается в следующем: для заданной арифметической схемы, вычисляющей многочлен , тождественно ли равен нулю?ПPP

Эта проблема может быть решена за рандомизированное полиномиальное время, но неизвестно, что она разрешима за детерминированный полиномиальное время.

С этим связана гипотеза Шуба и Смейла . Для заданного полинома мы определяем его сложность как размер наименьшей арифметической схемы, вычисляющей с использованием единственной константы . Для одномерного многочлена пусть - его число действительных корней.P τ τ ( P ) P 1 P Z [ x ] z ( P )τPττ(P)P1PZ[x]z(P)

Докажите, что существует универсальная постоянная такая, что для любого , .cPZ[x]z(P)(1+τ(P))c


25

Есть ли квантовая теорема PCP?


Этот вопрос был упомянут в блоге Скотта Ааронсона некоторое время назад scottaaronson.com/blog/?p=139, но я не знаю, был ли достигнут какой-либо прогресс с тех пор.
Энтони Леверье

Я думаю, что этот ответ должен быть обновлен.
Каве

@Kaveh: Что бы вы хотели видеть добавленным?
Робин Котари



25

В лямбда-исчислениях много открытых проблем (типизированных и нетипизированных). См. Список открытых проблем TLCA для деталей; также есть хорошая версия PDF без рамок.

Мне особенно нравится проблема № 5:

Есть ли в неиспользуемые но с помощью положительных рекурсивных типов?Fω


3
Спасибо Доминику Маллигану за то, что он указал мне на этот конкретный список проблем.
Жак Каретт

25

Является ли проблема дискретного логарифма в P?

Пусть циклическая группа порядка и такая , что является генератором . Проблема нахождения такой, что , известна как проблема дискретного логарифма (DLP). Существует ли (классический) алгоритм для решения DLP в наихудшем полиномиальном времени по числу битов ?q g , h G g G n N g n = h qGqg,hGgGnNgn=hq

Существуют варианты DLP, которые считаются более простыми, но все еще не решены. Вычислительная задача Диффи-Хеллмана (ЦРБ) запрашивает для нахождения данную и . Принятия решения проблем Диффи-Хеллмана (ДДГ) просит решающем, учитывая , если . g , g a g b g , g a , g b , h G g a b = hgabg,gagbg,ga,gb,hGgab=h

Очевидно, что DLP сложно, если CDH сложно, и CDH трудно, если DDH сложно, но обратные сокращения не известны, за исключением некоторых групп. Предположение, что DDH сложен, является ключом к безопасности некоторых криптосистем, таких как ElGamal и Cramer-Shoup .


3
Ну, мы знаем, что DLP содержится в BQP.
Джо Фитцсимонс

DLP был недавно помещен в квази-P для группыG=Fpn×
Марк

24

Игры с четностью - это графические игры для двух игроков с бесконечной продолжительностью, естественная проблема решения которых в NP и co-NP, а также естественная проблема поиска в PPAD и PLS.

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

Можно ли решить паритетные игры за полиномиальное время?

(В целом, давний главный открытый вопрос в математическом программировании заключается в том, могут ли P-матричные линейные задачи дополнительности быть решены за полиномиальное время?)


23

Область параметризованной сложности имеет свою собственную нагрузку на открытые проблемы.

Рассмотрим решение проблемы

  • при заданном существует ли покрытие вершин размера для графа ?(G,k)kG
  • При заданном существует ли удовлетворительное распределение веса для формулы ?(F,k)kF
  • при заданном существует ли клика размера в графе ?(G,k)kG
  • и т.д...

Многие, многие, комбинаторные проблемы существуют в этой форме. Параметризованная сложность рассматривает алгоритм как «эффективный», если его время выполнения ограничено сверху где - произвольная функция, а - постоянная, не зависящая от . Для сравнения отметим, что все такие проблемы легко решаются в .f(k)ncfcknO(k)

Эта структура моделирует случаи, в которых мы ищем небольшую комбинаторную структуру, и мы можем предоставить экспоненциальное время выполнения по отношению к размеру решения / свидетеля .

Проблема с таким алгоритмом (например, покрытие вершины) называется « Исправляемый параметр с возможностью изменения параметров» (FPT).

Параметризованная сложность является зрелой теорией и имеет как сильные теоретические основы, так и привлекательность для практического применения. Задачи решения, интересные для такой теории, образуют очень хорошо структурированную иерархию классов с естественными полными задачами:

FPTW[1]W[2]W[i]W[i+1]W[P]

Конечно, это открыто, если любое из таких включений строгое или нет. Обратите внимание, что если то SAT имеет субэкспоненциальный алгоритм (это не тривиально). Последнее утверждение связывает прамеризированную сложность с упомянутым выше.E T HFPT=W[1]ETH

Также обратите внимание, что исследование таких коллапсов не является пустым упражнением: доказательство того, что эквивалентно доказательству наличия алгоритма с фиксированным параметром для поиска -кликов.kW[1]=FPTk

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.