Структура данных для обновления интервалов и запроса количества нулей

Я ищу структуру данных, которая бы поддерживала целочисленную таблицу $t$ размера и позволяла бы выполнять следующие операции за время . $n$ $O(\log n)$

$\text{increase}(a,b)$ , которое увеличивает . $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
$\text{decrease}(a,b)$ , которое уменьшает $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$ .
$\text{support}()$ , который возвращает количество индексов $i$ таких что $t[i]\neq 0$ .

У вас есть обещание, что каждый призыв к уменьшению может быть сопоставлен с предыдущим вызовом увеличения с теми же параметрами $a,b$ . Приложение, которое я имею в виду, представляет собой алгоритм развертки для вычисления во времени $O(n\log n)$ области объединения n заданных прямолинейных прямоугольников.

Четырехъядерное дерево будет иметь размер , поэтому оно не является решением. Деревья Фенвика или Интервала имеют правильный вкус, но я не вижу, как их расширить, чтобы поддержать описанные выше операции. $\Theta(n^2)$

ds.data-structures cg.comp-geom

— Кристоф Дюрр
источник

Деревья Фенвика не будут использовать обещание, что «каждый призыв к уменьшению может быть сопоставлен с предыдущим вызовом для увеличения с теми же параметрами a, b», так что может быть более простое решение, использующее это обещание (но пока оно ускользает от меня).

— Джереми

Поскольку количество вводимых вами данных не может превышать

(вы можете обнаруживать повторы и не вставлять их в структуру данных), мы по-прежнему получаем производительность

используя общую структуру данных дерева мер. См. Cosy.sbg.ac.at/~ksafdar/data/courses/SeminarADS/… слайд 47-52.

n^{2}

$n^2$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Чао Сюй

Джереми и Чао Сюй. Спасибо за ваши комментарии. Теперь я понимаю, как можно использовать дерево интервалов для поддержания общей длины объединения изменяющегося набора интервалов. На самом деле это очень симпатичная структура данных.

— Кристоф Дюрр

Для общей проблемы структуры данных поиск по времени

требует пространства

где

- размер списка активных пар координат. Но действительно для алгоритма строчной линии

поэтому пространство остается линейным. Проблема все еще открыта для структуры данных с лучшим пространством, чем

, когда

\log (n^{2}) \in O (\log (n))

$\log(n^2)\in O(\log(n))$

O (p) \subset O (n^{2})

$O(p)\subset O(n^2)$

p

$p$

p \in O (n)

$p\in O(n)$

O (p)

$O(p)$

p \in ω (n)

$p\in\omega(n)$

— Джереми

Вот хорошая ссылка, где вы можете протестировать свои реализации с другими решениями той же проблемы: spoj.com/OI/problems/NKMARS

— Segal-Halevi

Ответы:

Используйте дерево сегментов - рекурсивное разбиение диапазона на меньшие диапазоны. Каждый интервал ваших операций обновления может быть разбит на диапазонов в этом рекурсивном разделе. Для каждого диапазона store: $[1,n]$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $[x,y]$

Число интервалов , которые были увеличены и не уменьшены, так что является одним из диапазонов, на которые разбивается $c(x,y)$ $[a,b]$ $[x,y]$ $[a,b]$
Число ячеек, которые не покрыты разделенными подмножествами интервалов, которые в или ниже в рекурсии $u(x,y)$ $[x,y]$

Тогда, если рекурсивно разбито на и мы имеем $[x,y]$ $[x,z]$ $[z+1,w]$

U (Икс, Y) знак равно {\begin{cases} 0 & если с (Икс, Y) > 0 \\ U (Икс, Z) + U (Z + 1, Y) & в противном случае \end{cases}

$u(x,y)=\begin{cases} 0&\text{if }c(x,y)>0\\ u(x,z)+u(z+1,y)&\text{otherwise} \end{cases}$ поэтому мы можем обновлять каждое значение

в постоянное время, когда изменяются другие данные для диапазона. На каждый запрос поддержки можно ответить, посмотрев на

u (x, y)

$u(x,y)$

u (1, n)

$u(1,n)$

Чтобы выполнить операцию увеличения , разбейте на диапазоны , увеличьте для каждого из этих диапазонов и используйте приведенную выше формулу для пересчета для каждого из этих диапазонов и каждого из их предков. Операция уменьшения аналогична уменьшению вместо увеличения. $(a,b)$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $c(x,y)$ $u(x,y)$

— Дэвид Эппштейн
источник

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

u (x, y) = 0

$u(x,y) = 0$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

Не могли бы вы привести пример?

— Jbapple

Предположим, ваш интервал - числа [1,8]. Он рекурсивно делится на [1,4], [4,8], затем [1,2], [3,4], [5,6] и [7,8], а затем все одноэлементные диапазоны. Первоначально все раскрыто, все c [x, y] = 0, и у каждого диапазона есть u = его длина. Но затем предположим, что вы выполняете операцию увеличения [2,6]. Максимальные диапазоны O (log n), на которые можно разложить [2,6]: [2,2], [3,4] и [5,6], поэтому для этих трех мы устанавливаем c [x, y] колеблется до 1. Согласно формуле в моем ответе, это приводит к тому, что u [x, y] для этих трех диапазонов также становится равным 0. u [1,2] становится 1, u [1,4] также становится 1, u [ 5,8] = 2, а u [1,8] = 1 + 2 = 3

— Дэвид Эппштейн

$\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $\text{support}$ $O(1)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n})$ $a$ $b$ $\omega(\log n)$

— jbapple
источник

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\log n)

$O(\log{n})$