Найти остаток от большого фиксированного полинома, разделив его на небольшой неизвестный полином

Предположим, мы работаем в конечном поле. Нам дан большой фиксированный многочлен p (x) (скажем, степени 1000) над этим полем. Этот многочлен известен заранее, и нам разрешено выполнять вычисления с использованием большого количества ресурсов на «начальной стадии». Эти результаты могут быть сохранены в сравнительно небольших справочных таблицах.

В конце «начальной фазы» нам будет дан небольшой неизвестный многочлен q (x) (скажем, степени 5 или меньше).

Есть ли быстрый способ вычисления p (x) mod q (x), учитывая, что нам разрешено делать некоторые сложные вычисления в «начальной фазе»? Одним из очевидных способов является вычисление p (x) mod q (x) для всех возможных значений q (x). Есть лучший способ сделать это?

Следующие алгоритмы хорошо работают, если базовое поле имеет очень маленький порядок .$s$

Предположим, мы знаем, что неприводимо с фиксированной степенью . Тогда, mod , мы знаем, что выполнено. Следовательно, достаточно предварительно вычислить .$q$$d$$q$$x^{s^d} = x$$p(x) \mod x^{s^d} - x$

В общем случае может разлагаться на произведение неприводимых многочленов . В этом случае аналогичный аргумент применяется для вычисления по модулю каждого отдельно, а затем сложения результатов воедино. Поэтому нам действительно нужно вычислить для каждого .$q(x)$$q = q_1 \dots q_r$$p$$q_1, \dots, q_r$$p(x) \mod x^{s^{d'}} - x$$d' \leq d$

Я думаю, что есть довольно быстрый способ сделать это. Пусть коэффициенты пока неизвестного полинома быть , поэтому где есть некоторое малое число. Теперь давайте начнем вычислять где , где большой, а известны. Это мы делаем, уменьшая степень, используя равенства как . В конечном итоге мы получаем степень полинома, коэффициенты которого являются полиномами от (так как$q$$b_i$$q=\sum_{i=0}^d b_ix^i$$d$$p \pmod q$$p=\sum_{i=0}^D a_ix^i$$D$$a_i$$a_Dx^D= \frac {-a_D}{b_d} \sum_{i=1}^{d-1} b_{d-i}x^{D-i}$$<d-1$$b_i$$a_i$известны). Эти полиномы мы можем быстро вычислить, как только получим .$q$

Смотрите отличные комментарии об этом посте ниже. :)

Предварительная обработка; вход: $p(x)$

1. Коэффициент как .$p(x)$$p(x)=\prod_{i=0}^{1000} (x_i-r_i)$

2. Сохраните это как таблицу различных корней и их соответствующих кратностей .$T$$r_j$$m_j$

Онлайн этап; вход: $q(x)$

1. Коэффициент как .$q(x)$$q(x)=\prod_{i=0}^5 (x_i-r'_i)$

2. Сохраните это как список различных корней и их соответствующих кратностей .$L$$r'_j$$m'_j$

3. В то время как не пуст, удалить следующий корень / кратность из и любая точка , как в .$L$$L$$T$

4. Считайте из модифицированной таблицы и выведите.$p(x)\bmod{q(x)}$$T$

Другие комментарии:

• Очевидно, вы хотите отсортировать таблицу и получить к ней доступ с помощью двоичного поиска (или дерева).$T$
• (Пусть будет степенью .) Если вы хотите, чтобы выходные данные находились в представлении коэффициентов, вы можете просто сделать несколько FFT в конце, чтобы получить Время .$d$$p(x)$$p(x)\bmod{q(x)}$$\tilde{O}(d)$
• В зависимости от того, как вы ее формализовали, вы, вероятно, можете предварительно вычислить множество различных способов, которыми вы заранее скомбинировали бы термины в (стиль динамического программирования), так что большинство (или все) умножений являются просто поиском. Тогда доминирующая стоимость - это количество поисков, или примерно . Если , это всего лишь несколько конкретных арифметических операций.$T$$O(\log d)$$d=1000$