Является ли Gap-3SAT NP-полным даже для формул 3CNF, в которых пара переменных не встречается в значительно большем количестве предложений, чем в среднем?

В этом вопросе формула 3CNF означает формулу CNF, в которой каждое предложение включает ровно три различные переменные. Для константы 0 < s <1 Gap-3SAT _s является следующей проблемой обещания:

GAP-3sat _сек
экземпляра : а 3CNF формула φ.
Да-обещание : φ выполнимо.
Нет-обещание : Нет истину назначение удовлетворяет более чем ей доля из пунктов ф.

Один из эквивалентных способов сформулировать знаменитую теорему PCP [AS98, ALMSS98] состоит в том, что существует постоянная 0 < s <1 такая, что Gap-3SAT _s является NP-полной.

Мы говорим, что формула 3CNF попарно B-ограничена, если каждая пара различных переменных присутствует не более чем в B предложениях. Например, формула 3CNF ( x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₄ ) ∧ (￢x ₁ ∨￢x ₃ ∨ x ₄ ) ∧ ( x ₁ ∨ x ₃ ∨￢x ₅ ) попарно 2-ограничена, но не попарно 1 ограничено, потому что, например, пара ( x ₁ , x ₄ ) появляется в более чем одном предложении.

Вопрос . Существуют ли константы B ∈ ℕ, a > 0 и 0 < s <1 такие, что Gap-3SAT _s является NP-полной даже для формулы 3CNF, которая попарно B- ограничена и состоит по крайней мере из ^2-х предложений, где n такое количество переменных?

Попарная ограниченность ясно подразумевает, что существуют только O ( n ² ) предложений. Вместе с квадратичной нижней границей количества предложений это примерно говорит о том, что ни одна пара отдельных переменных не появляется в значительно большем количестве предложений, чем в среднем.

Для Gap-3SAT известно, что редкий случай сложен : существует постоянная 0 < s <1, такая, что Gap-3SAT _s является NP-полной даже для формулы 3CNF, где каждая переменная встречается ровно пять раз [Fei98]. С другой стороны, плотный случай прост : Max-3SAT допускает PTAS для формулы 3CNF с Ω ( n ³ ) различными предложениями [AKK99], и поэтому Gap-3SAT _s в этом случае находится в P для каждой константы 0 < с <1. Вопрос касается середины этих двух случаев.

Вышеупомянутый вопрос первоначально возник при изучении квантовой вычислительной сложности, более конкретно, двухпроцессорных односторонних интерактивных систем доказательства с запутанными проверяющими (системы MIP ^* (2,1) ). Но я думаю, что вопрос может быть интересным сам по себе.

Ссылки

[AKK99] Санджив Арора, Дэвид Каргер и Марек Карпински. Схемы аппроксимации полиномиального времени для плотного случая NP-трудных задач. Журнал компьютерных и системных наук , 58 (1): 193–210, февраль 1999 г. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1998.1605

[ALMSS98] Санджив Арора, Карстен Лунд, Раджив Мотвани, Мадху Судан и Марио Сегеды. Доказательство проверки и сложности аппроксимации проблемы. Журнал ACM , 45 (3): 501–555, май 1998 г. http://doi.acm.org/10.1145/278298.278306

[AS98] Санджив Арора и Шмуэль Сафра. Вероятностная проверка доказательств: новая характеристика Н.П. Журнал ACM , 45 (1): 70–122, январь 1998 г. http://doi.acm.org/10.1145/273865.273901

[Fei98] Уриэль Фейдж. Порог ln n для аппроксимации заданного покрытия. Журнал ACM , 45 (4): 634–652, июль 1998 г. http://doi.acm.org/10.1145/285055.285059

Не полный ответ, но, надеюсь, близко. Это очень близко к комментариям Луки выше. Я полагаю, что ответ состоит в том, что, по крайней мере, существуют константы B ∈ ℕ, a > 0 и 0 < s <1, такие что Gap-3SAT _s является NP-полной даже для формулы 3CNF, которая попарно B- ограничена и состоит из по крайней мере для любой константы .$an^{2-\epsilon}$$\epsilon$

Доказательство состоит в следующем. Рассмотрим экземпляр GAP-3SAT для переменных, в котором каждая переменная появляется не более 5 раз. Это NP-полная, как вы говорите в вопросе. ϕ $_s$$\phi$$N$

Теперь мы создаем новый экземпляр следующим образом:$\Phi$

1. Для каждой переменной в , имеет переменных .$x_i$$\phi$$\Phi$$n$$y_{ij}$
2. Для каждого набора индексов , и с , имеет пару предложений и . Я буду ссылаться на них как на условия сравнения, так как они гарантируют, что если они удовлетворены.$i$$a$$b$$a\neq b$$\Phi$$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{ib}$$y_{ib}∨￢y_{ia}∨￢y_{ia}$$y_{ia} = y_{ib}$
3. Для каждого предложения в действующего на переменные , и , для каждого и , содержит эквивалентное предложение, где заменяется на , заменяется на и заменяется на (здесь сложение выполняется по модулю ). Я буду ссылаться на них как на унаследованные.$\phi$$x_i$$x_j$$x_k$$a$$b$$\Phi$$x_i$$y_{ia}$$x_j$$y_{jb}$$x_k$$y_{k(a+b)}$$n$

Общее количество переменных тогда равно . Примечание. У есть предложений сравнения и унаследованных предложений, в общей сложности предложений. Принимая мы имеем и общее количество предложений . Мы берем , поэтому .$m = nN$$\Phi$$2Nn^2$$\frac{5}{3}Nn^2$$\frac{11}{3}Nn^2$$n = N^k$$m = N^{k+1}$$C = \frac{11}{3}N^{2k+1} = \frac{11}{3}m^{2-\frac{1}{k+1}}$$k = \epsilon^{-1} - 1$$C \propto m^{2-\epsilon}$

Далее, попарно 8-ограничен (максимум 2 из предложений сравнения и 6 из унаследованных предложений).$\Phi$

Наконец, если неудовлетворительно, то по крайней мере предложений являются неудовлетворительными. Теперь, если для любого то по крайней мере предложений не удовлетворяются. Обратите внимание, что для удовлетворения неудовлетворенных предложений в наборе унаследованных предложений для фиксированных необходимо присвоение переменных , и должны отличаться по крайней мере позиций, оставляя по крайней мере сравнений неудовлетворительными предложениями. Это должно выполняться для каждого выбора и$\phi$$(1-s)N$$y_{ia} \neq y_{ib}$$a,b$$n-1$$(1-s)N$$a,b$$y_{:a}$$y_{:b}$$y_{:(a+b)}$$\frac{1-s}{5}N$$\frac{1-s}{5}N(n-1)$$a$$b$поэтому, по крайней мере, условия сравнения должны оставаться в целом неудовлетворенными, чтобы удовлетворять достаточное количество унаследованных предложений. Однако если вы посмотрите на другой крайний случай, когда все условия сравнения выполняются, то пункты являются неудовлетворительными. Следовательно, разрыв остается (хотя и сокращается) при .$\approx \frac{1-s}{5}Nn^2 = \frac{3(1-s)}{11}C$$(1-s)Nn^2 = (1-s)m^{\frac{2k+1}{k+1}} = (1-s)C$$s' = \frac{4+s}{5}$

Константы, вероятно, должны быть дважды проверены.