Ассоциативное смешивание хешей

Рассмотрим простой односвязный список в чисто функциональной обстановке. Его похвалы пели с горных вершин и будут продолжать петь. Здесь я расскажу об одной из его сильных сторон и о том, как ее можно распространить на более широкий класс чисто функциональных последовательностей, основанных на деревьях.

Проблема заключается в следующем: вы хотите проверить почти определенное структурное равенство за O (1) с помощью сильного хеширования. Если хеш-функция является структурно-рекурсивной, то есть hash (x: xs) = mix x (hash xs), тогда вы можете прозрачно кэшировать значения хеш-функции в списках и обновлять их в O (1) раз, когда элемент ограничен существующим списком. , Большинство алгоритмов хэширования списков структурно рекурсивны, поэтому этот подход в высшей степени применим на практике.

Но предположим, что вместо односвязных списков у вас есть древовидные последовательности, которые поддерживают конкатенацию двух последовательностей длины O (n) за O (log n) времени. Чтобы здесь работало кэширование хеша, функция смешивания хеша должна быть ассоциативной, чтобы уважать степени свободы дерева при представлении одной и той же линейной последовательности. Микшер должен взять хеш-значения поддеревьев и вычислить хеш-значение всего дерева.

Это было то место, где я был шесть месяцев назад, когда провел день, обдумывая и исследуя эту проблему. Кажется, в литературе не было уделено внимания структурам данных. Я сталкивался с алгоритмом хеширования Тиллиха-Земора из криптографии. Он основан на умножении матрицы 2x2 (которое является ассоциативным), где биты 0 и 1 соответствуют двум генераторам подалгебры с записями в поле Галуа.

У меня вопрос, что я пропустил? В литературе по криптографии и структурам данных должны быть статьи, которые мне не удалось найти в моем поиске. Будем весьма благодарны за любые комментарии по этой проблеме и возможные места для изучения.

Редактировать: меня интересует этот вопрос как на мягких, так и на криптографически сильных концах спектра. С другой стороны, его можно использовать для хеш-таблиц, где следует избегать коллизий, но они не являются катастрофическими. С другой стороны, его можно использовать для проверки на равенство.

Добавлено : После прочтения комментариев Пера, я думаю, что этот ответ - просто (плохая) вариация алгоритма хеширования Тиллиха-Земора, который уже упоминался в вопросе. Я отказываюсь от этого ответа, но оставляю его в надежде, что он (и комментарии) может быть информативным для некоторых читателей.

Редактировать : в более ранней редакции этого ответа предлагалось использовать моноидную операцию над [ m ], но, как указал Пер в комментарии, желательно использовать групповую операцию.

Этот ответ о построении хеш-функции для хеш-таблиц, которую легко реализовать. Гарантируемой гарантии качества не ожидается.

Предполагая, что у вас уже есть хеш-функция для каждого элемента последовательности до конечного множества [ m ] = {1,…, m }, как насчет интерпретации каждого элемента из [ m ] как элемента в конечной группе G и использования групповая операция на G ? Вы можете использовать любое отображение от [ m ] до G , но желательно, чтобы отображение было инъективным, чтобы мы не теряли информацию в хэш-значении каждого элемента. Также желательно, чтобы группа не была коммутативной, чтобы хэш-функция могла уловить разницу в порядке элементов в последовательности.

Я не знаю много о конечных группах, которые допускают быстрые операции, но я предполагаю, что такие группы известны в теории кодирования. Используя симметричную группу порядка не менее m не так уж плохо.

Почти универсальное семейство хэш-функций

$h_a(\vec{x}) + a^{|\vec{x}|}h_a(\vec{y}) = h_a(\vec{x} \circ \:\vec{y})$$\circ$$a^{|\vec{x}|}$$O(1)$$\mathbb{Z}_p$

$\vec{x} \neq \vec{y}$$O(\min(|\vec{x}|,|\vec{y}|)/p)$

$n$$n',n''$$y',y''$$n$$y=H(y',y'')$$H$$O(1)$$O(\lg n)$

$H(x_1,\dots,x_m)$$x_1,\dots,x_m$$m$