Редактировать расстояние с помощью операций перемещения

Мотивация: соавтор редактирует рукопись, и я хотел бы увидеть четкое резюме изменений. Все инструменты, подобные "diff", как правило, бесполезны, если вы одновременно перемещаете текст (например, реорганизуете структуру) и делаете локальные правки. Неужели так сложно понять это правильно?

Определения: я хотел бы найти минимальное расстояние редактирования, где разрешены операции:

• «дешевые» операции: добавление / изменение / удаление одного символа (обычные операции Левенштейна),

• «дорогой»: операции: переместить подстроку в новое место ( для любых строк a , b , c , d ).$abcd \mapsto acbd$$a$$b$$c$$d$

Учитывая две строки и y и целые числа k и K , я хотел бы решить следующую проблему:$x$$y$$k$$K$

• Вы можете преобразовать в y, используя не более k дешевых операций и не более K дорогих операций?$x$$y$$k$$K$

Вопросов:

1. У этой проблемы есть имя? (Это звучит как очень стандартный вопрос в контексте выравнивания последовательностей.)

2. Это сложно?

3. Если это сложно, можно ли с фиксированным параметром трактоваться с помощью $K$ в качестве параметра?

4. Существуют ли эффективные алгоритмы аппроксимации? (Например, найти решение с не более чем дешевыми и 2 К дорогим операциям , если решение с K дешевыми и K дорогих операциями существуют.)$2k$$2K$$k$$K$

Я пытался взглянуть на строковые метрики, перечисленные в Википедии , но ни один из них не выглядел правильно.

Как прокомментировал Серж Гасперс, для проблема заключается в сортировке по транспозициям , которая была введена Бафной и Певзнером в 1995 году. Ее NP-твердость была доказана только в 2010 году; см. Laurent Bulteau, Guillaume Fertin и Irena Rusu, «Сортировка по транспозиции затруднительна» .$k=0$

Проблема становится проще, если мы рассмотрим длинные удаления и копирование подстрок вместо транспозиций. Предположим, что мы используем стандартный алгоритм динамического программирования для вычисления расстояния редактирования и что дорогая операция длины увеличивает расстояние на a k + b , для некоторых констант a , b ≥ 0 . Эти константы могут быть разными для длинных удалений и копирования подстрок.$k$$ak+b$$a,b \ge 0$

Длинное удаление - это удаление произвольной подстроки из . Поддержать их легко, если мы разбиваем их на два вида простых операций: удаление первого символа (стоимость a + b ) и расширение удаления на один символ (стоимость a ). В дополнение к стандартному массиву A , где A [ i , j ] - расстояние редактирования между префиксами x [ 1 … i ] и y [ 1 … $x$$a+b$$a$$A$$A[i,j]$$x[1 \dots i]$ , мы используем другой массив A $y[1 \dots j]$$A_{d}$сохранить расстояние редактирования, когда последней использованной операцией было длительное удаление. С этим массивом мы должны смотреть только на , A [ i - 1 , j - 1 ] , A [ i , j - 1 ] и A d [ i - 1 , j ] при вычислении A [ i , j ] и A d [ $A[i-1,j]$$A[i-1,j-1]$$A[i,j-1]$$A_{d}[i-1,j]$$A[i,j]$ , что позволяет нам сделать это за O ( 1 ) раз.$A_{d}[i,j]$$O(1)$

Копирование подстроки означает вставку произвольной подстроки в редактируемую строку. Как и в случае длинных удалений, мы разбиваем операцию на две простые операции: вставка первого символа и расширение вставки на один символ. Мы также используем массив A s для хранения расстояния редактирования между префиксами при условии, что последней использованной операцией было копирование подстроки.$x$$A_{s}$

Эффективно сделать это сложнее, чем с длинными удалениями, и я не уверен, сможем ли мы получить амортизированное раз на ячейку. Мы строим дерево суффиксов для x , которое занимает время O ( | x | ) , предполагая алфавит постоянного размера. Мы сохраняем указатель на текущий узел дерева суффиксов в A s [ i , j - 1 ] , что позволяет нам проверять в постоянное время, можем ли мы расширить вставку символом y [ j ] . Если это правда, мы можем вычислить A [ $O(1)$$x$$O(|x|)$$A_{s}[i,j-1]$$y[j]$ и A s [ i , j $A[i,j]$$A_{s}[i,j]$ в постоянном времени.

В противном случае , где z - вставленная подстрока, которая использовалась для вычисления A s [ i , j - 1 ] , не является подстрокой x . Мы используем дерево суффиксов, чтобы найти самый длинный суффикс z ′ в z , для которого z ′ y [ j ] является подстрокой x в O ( | z | - | z ′ |$zy[j]$$z$$A_{s}[i,j-1]$$x$$z'$$z$$z'y[j]$$x$$O(|z|-|z'|)$ времени. Вычислить , теперь нам нужно взглянуть на ячейки A [ i , j - | z ′ | - 1 ] до A [ i , j - 1 ] . Нахождение суффикса z ′ требует только амортизированного времени O ( 1 ) на ячейку, но вычисление A s [ i , j ] с использованием метода грубой силы требует O ( | $A_{s}[i,j]$$A[i, j-|z'|-1]$$A[i,j-1]$$z'$$O(1)$$A_{s}[i,j]$$O(|z'|)$ Время. Вероятно, есть какой-то способ сделать это более эффективно, но я не могу найти это прямо сейчас.

$O(\min(|x| \cdot |y|^{2}, |x|^{2} \cdot |y|))$ time, but a better analysis should be possible. The resulting edit distance with long deletions and substring copying is not symmetric, but that should not be a problem. After all, it is usually easier to reach the empty string from a nonempty one than the other way around.