Являются ли раскраски вершин - в некотором смысле - окраской краев?

Мы знаем , что краевые раскраски графа являются вершинными раскрасками специального графа, а именно на линию граф от . $G$ $L(G)$ $G$

Существует ли оператор графа такой, что раскраски вершин графа являются краевыми раскрасками графа ? Меня интересует такой оператор графа, который можно построить за полиномиальное время, т.е. граф можно получить из за полиномиальное время. $\Phi$ $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$

Примечание : аналогичный вопрос можно задать для стабильных наборов и соответствий. Совпадение в является устойчивым множеством в . Существует ли оператор графа такой, что устойчивые множества в совпадают в ? Так как устойчивое множество является -полным и СООТВЕТСТВУЯ принадлежит , такой граф оператор (если существует) не может быть построена в полиномиальное время, при условии , . $G$ $L(G)$ $\Psi$ $G$ $\Psi(G)$ $\mathsf{ NP}$ $\mathsf{P}$ $\Psi$ $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Вдохновленный ответом @ usul и комментариями @ Okamoto и @ King, я нашел более слабую форму для моей задачи: раскраски вершин графа - это раскраски краев гиперграфа определенного следующим образом. Множество вершин одно и то же множество вершин . Для каждой вершины из замкнутая окрестность является ребром гиперграфа $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$ $v$ $G$ $N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}$ . Тогда является линейным графом гиперграфа и поэтому раскраски вершин являются краевыми раскрасками . $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$

Опять же, я благодарен за все ответы и комментарии, показывающие, что, с предположением или без него , оператор, которого я ищу, не может существовать. Было бы хорошо, если бы я мог принять все ответы! $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

graph-theory graph-algorithms

— user13136
источник

Спасибо всем за добрые комментарии (и терпение!) И полезные ответы. Мне нужно время, чтобы прочитать, подумать и, возможно, вернуться со свежими глазами.

— user13136

Я столкнулся со следующей довольно интересной проблемой, поставленной Нишизеки и Чжоу в 1998 году, которая каким-то образом связана с вашим вопросом и вашим вторым комментарием к @TsuyoshiIto: можно ли «просто» свести проблему раскраски вершин к проблеме раскраски ребер? (...) Поскольку обе задачи являются NP-полными, любая из них может быть достоверно сведена к другой посредством 3-SAT, благодаря теории NP-полноты. Таким образом, открытая проблема спрашивает, ... (см. Здесь )

— Б. Ле

@vble: спасибо! Я признаю, что я хотел "слишком много". Такой оператор решит проблему Нишизеки и Чжоу.

— user13136

Ответы:

По аналогии с линейным графиком , я думаю, вы спрашиваете следующее:

Для любого неориентированного графа существует ли неориентированный граф такой, что каждой вершине соответствует ребро и ребра, соответствующие и разделяют хотя бы одну конечную точку тогда и только тогда, когда $G = (V,E)$ $G' = (V',E')$ $v \in V$ $(v_1,v_2) \in E'$ $u \in V$ $v \in V$ ? $(u,v) \in E$

Видно, что ответ - нет . Рассмотрим четырехвершинное дерево с корнем имеющим трех детей . В у нас должно быть четыре ребра: . Кроме того, это должно быть так, что либо $G$ $v$ $x,y,z$ $G'$ $(v_1,v_2),(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)$ или является конечной точкой каждого из остальных трех ребер (то есть, ,т.д.). Но это означает, что по крайней мере два из трех других ребер должны иметь общую конечную точку, что нарушает наши требования, поскольку никакие два из являются смежными в исходном графе. $v_1$ $v_2$ $\left| \{v_1,v_2\} \cap \{x_1,x_2\} \right| \geq 1$ $x,y,z$

Я думаю, что тот же график даст вам контрпример и для соответствующего вопроса.

— usul
источник

Good point! Actually I had the same thoughts. But maybe there is another way for defining

G^{'}

$G'$ ? Or how can we formally prove that such an operator

Φ

$\Phi$ does not exist?

— user13136

@user13136, hmm, maybe there is some creative way around it, but you would need to rephrase your question (I think my counterexample is a formal proof for the question as phrased in the quoted box). Intuitively, I think the problem is that when going the line-graph direction, we take an edge (that can only be connected to two vertices) and turn it into a vertex (that can be connected to any number of edges) -- easy. The reverse is opposite and harder.

— usul

Просто добавив к ответу Усула, короткий ответ - нет, потому что соответствия имеют структурные свойства, которые необязательно присутствуют в стабильных наборах. Например, каждый линейный граф также квазилинейный и без когтей; это действительно ограничивает глубину окраски ребер по сравнению с окраской вершин.

— Эндрю Д. Кинг

Вопрос содержит некоторую двусмысленность в том, что вы подразумеваете под «раскрасками вершин графа G , раскрасками ребер графа H », но сложно построить граф, хроматическое число ребер которого равно хроматическому числу (вершины) данный график. Формально следующая проблема отношений является NP-трудной.

Представляя хроматический номер в качестве края хроматического числа
Instance : A графа G .
Решение : Граф Н таким образом, что край хроматического числа χ '( Н ) из Н равна хроматического числа х ( G ) от G .

Это связано с тем, что теорема Визинга дает (тривиальный) эффективный алгоритм, который аппроксимирует хроматическое число ребра в пределах аддитивной ошибки 1, тогда как хроматическое число трудно даже аппроксимировать в различных смыслах. Например, Ханна, Линиал и Сафра [KLS00] показали, что следующая задача является NP-полной (а позже Гурусвами и Ханна [GK04] дали гораздо более простое доказательство):

3-colorable versus non-4-colorable
Instance: A graph G.
Yes-promise: G is 3-colorable.
No-promise: G is not 4-colorable.

This result is sufficient to prove the NP-hardness that I claimed at the beginning. A proof is left as an exercise, but here is a hint:

Exercise. Prove that the aforementioned problem “Representing chromatic number as edge chromatic number” is NP-hard under polynomial-time functional reducibility by reducing “3-colorable versus non-4-colorable” to it. That is, construct two polynomial-time functions f (which maps a graph to a graph) and g (which maps a graph to a bit) such that

Если G 3-раскрашиваемый граф и H такой граф, что χ ( f ( G )) = χ '( H ), то g ( H ) = 1.

Если G не 4-раскрашиваемый граф и H такой граф, что χ ( f ( G )) = χ '( H ), то g ( H ) = 0.

Ссылки

[GK04] Venkatesan Guruswami и Sanjeev Khanna. По твердости 4-раскраски есть 3-раскрашенный граф. Журнал SIAM по дискретной математике , 18 (1): 30–40, 2004. DOI: 10.1137 / S0895480100376794 .

[KLS00] Sanjeev Khanna, Nathan Linial, and Shmuel Safra. On the hardness of approximating the chromatic number. Combinatorica, 20(3):393–415, March 2000. DOI: 10.1007/s004930070013.

— Tsuyoshi Ito
источник

G

$G$

H

$H$

Φ

$\Phi$

L

$L$

χ (G) = χ^{'} (H)

$\chi(G) = \chi'(H)$ .

— user13136

Since VERTEX COLOURING and EDGE COLOURING are both

N P

$\mathsf{NP}$ -complete, we can construct, by definition,

H

$H$ from

G

$G$ in polynomial time such that

χ (G) \leq k

$\chi(G) \le k$ iff

χ^{'} (H) \leq k^{'}

$\chi'(H) \le k'$ .But such a construction need not fulfill the property for an operator

Φ

$\Phi$ I am looking for. It only reduces vertex colourings to edge colourings.

— user13136

@user13136: If a weaker requirement is impossible to satisfy, the stronger requirement is obviously also impossible. This is logic. You should understand that your planar graph example is not a counterexample to this. Deciding the 3-colorability of a given planar graph is not a weaker requirement than deciding the 4-colorability of a given planar graph; they are just different requirements. On the other hand, I already showed that what you want is impossible unless P=NP, period. But if you have trouble understanding this, I do not think there is anything I can do to help you understand.

— Tsuyoshi Ito

If I understand the question correctly, such a map

Φ

$\Phi$ doesn't exist. We don't need to refer to NP-completeness. Just consider

G = K_{1, 3}

$G=K_{1,3}$ and suppose such

Φ (G)

$\Phi(G)$ exists. Since

G

$G$ is 2-colorable,

Φ (G)

$\Phi(G)$ should be 2-edge-colorable. This means the maximum degree of

Φ (G)

$\Phi(G)$ is at most two. Since

Φ (G)

$\Phi(G)$ has four edges, we can go through all candidates for

Φ (G)

$\Phi(G)$ (seven candidates up to isomorphism), and we will find that the family of edge colorings of

Φ (G)

$\Phi(G)$ and the family of vertex colorings of

G

$G$ are different. A contradiction.

— Yoshio Okamoto

@user13136: It occurred to me that you might have been confused because I wrote only a proof idea and I left out the actual proof. I revised the answer so that it would be clear that I left out the actual proof, and added some hints for proof. If this still does not work for you, then I will give up.

— Tsuyoshi Ito

(This is an addition to usul's answer and YoshioOkamoto's comment, rather than an answer.) It can be seen that your operation $\Phi$ exists only for those graphs $G$ for which there is a graph $G'$ with $G = L(G')$ , i.e. $G$ is a line graph (checkable in polytime). In this case, $\Phi$ is the "inverse line graph operator" $L^{-1}$ , i.e. $\Phi(G)=G'$ , and vertex colorings of $G$ are edge colorings of $\Phi(G)$ .

— In Theory
источник