Гамильтоновость k-регулярных графов

Известно, что он является NP-полным, чтобы проверить, существует ли гамильтонов цикл в 3-регулярном графе, даже если он плоский (Гэри, Джонсон и Тарьян, SIAM J. Comput. 1976) или двудольный (Akiyama, Nishizeki, и Saito, J. Inform. Proc. 1980), или чтобы проверить, существует ли гамильтонов цикл в 4-регулярном графе, даже если это граф, образованный расположением кривых Жордана (Iwamoto and Toussaint, IPL 1994).

Для какого другого k известно, что он NP-полон, чтобы проверить гамильтоновость k-регулярных графов?

Частный случай, который меня интересует, - это 6-регулярные графы с дополнительным условием, чтобы граф имел нечетное количество вершин. Если бы этот случай мог быть показан как NP-полный (или полиномиальный), это оказало бы влияние на проблему рисования графика, описанную в http://arxiv.org/abs/1009.0579 . Условие «нечетное число вершин» заключается в том, что для 6-регулярных графов я действительно хочу знать, содержит ли граф гамильтонов цикл или двудольный 2-фактор; но наличие нечетного числа вершин исключает возможность двудольного 2-фактора, оставляя только возможность гамильтонова цикла.

Первый шаг. Предположим, что граф имеет четное число вершин. На втором этапе мы расширим конструкцию, так что если k четное, то мы покажем, как превратить граф в нечетное число вершин.

Решение является уточнением идеи, предложенной в другом ответе.

Первая часть

Утверждение: для регулярного графа G с четным числом вершин можно вычислить граф H, который является ( k + 1 ) -регулярным, и H гамильтонов, если G гамильтониан.$k$$G$$H$$(k+1)$$H$$G$

Доказательство: возьмем две копии регулярного графа G , назовем их G 1 и G 2 . Для вершины v ∈ V ( G ) пусть v 1 и v 2 - соответствующие копии. Создайте клику с k + 2 вершинами для v . Выберите в этой клике две вершины v ′ и v ″ и удалите ребро между ними. Затем подключите v 1 к v ′ и v $k$$G$$G_1$$G_2$$v \in V(G)$$v_1$$v_2$$k+2$$v$$v'$$v''$$v_1$$v'$$v_2$к . Пусть C ( v ) обозначает этот компонент для v .$v''$$C(v)$$v$

Повторите это для всех вершин графа , и пусть H обозначает результирующий граф.$G$$H$

Ясно, что граф является k + 1 регулярным. Мы утверждаем, что H гамильтонова тогда и только тогда, когда G гамильтонова.$H$$k+1$$H$$G$

Одно направление ясно. Учитывая Hambiltonian цикл в , мы можем перевести его в цикл в H . Действительно, всякий раз, когда цикл посещает вершину $G$$H$$v$ , мы интерпретируем ее как перемещение от к v 2 (или наоборот), посещая все вершины в C ( v ) . Таким образом , это приводит к гамильтонова цикла в H . (Обратите внимание, что именно здесь мы используем тот факт, что исходное количество вершин четное - если цикл нечетный, это ломается.)$v_1$$v_2$$C(v)$$H$

Что касается другого направления, рассмотрим гамильтонов цикл в . Должно быть, что C ( v ) посещается частью цикла, который начинается в v 1 , посещает все вершины C ( v ) и уходит из v 2 (или симметричного варианта). Действительно, гамильтонов цикл не может входить и выходить из одного и того же v i . Таким образом , гамильтонов цикл в H в качестве естественного интерпретации как гамильтонова цикла в G . QED.$H$$C(v)$$v_1$$C(v)$$v_2$$v_i$$H$$G$

Вторая часть

Как отмечается ниже, Цуёси, любой 3-регулярный граф имеет четное число вершин. Таким образом, задача сложна для регулярного графа с четным числом вершин. А именно, приведенное выше сокращение показывает, что проблема трудна для любого k -регулярного графа, хотя полученный граф имеет четное число вершин.$3$$k$

Заметим, что это подразумевает, что следующая проблема NP-трудна.

Задача A: Решить, имеет ли k-регулярный граф с четным числом вершин гамильтонов цикл, проходящий через конкретное ребро e .$G$$e$

Однако, если даже тогда дано ( G , e ), мы можем свести его к желаемой проблеме. Действительно, мы заменяем ребро e на клику из k + 1 вершин, как перед удалением одного ребра в клике и соединением двух его конечных точек с конечными точками e и удалением e из графа. Понятно, что для нового графа H :$k$$(G, e)$$e$$k+1$$e$$e$$H$

• является к -регулярной.$H$$k$
• гамильтониан тогда и только тогда, когда G гамильтониан с циклом, использующим e .$H$$G$$e$
• имеет | V ( G ) | + k + 1 вершин => H имеет нечетное количество вершин.$H$$|V(G)| + k+1$$H$

Обратите внимание, что регулярный граф для k нечетного должен иметь четное количество вершин (просто посчитать ребра). Таким образом, не существует k- регулярных графов с нечетным числом вершин, где k нечетно.$k$$k$$k$$k$

Результат

Трудно определить, имеет ли регулярный граф гамильтонов цикл для k ≥ 3 . Проблема остается NP-Hard, даже если граф имеет нечетное количество вершин.$k$$k\geq 3$

Конечно, всегда возможно, что я совершил какую-то глупую ошибку ...

Упражнение

Если мы хотим перейти от графа, который является регулярным, к графу, который, скажем, является 2 k -регулярным, то граф, полученный в результате применения приведенного выше сокращения, многократно приводит к графу с размером, который экспоненциально зависит от k . Покажите, что при заданном k -регулярном графе G и i > 2 можно построить граф H, который является ( k + i ) -регулярным и его размер полиномиален по k , $k$$2k$$k$$k$$G$$i >2$$H$$(k+i)$$k,i$ и , где n - количество вершин из G . Более того,$n$$n$$G$ гамильтонова тогда и только тогда, когда H гамильтонова.$G$$H$

(Я публикую это как упражнение, а не вопрос, поскольку знаю, как это решить.)

РЕДАКТИРОВАТЬ: Это доказательство неверно, как указано в комментариях. (Должен ли я удалить сообщение?)

Интуитивно кажется, что если гамильтоновость NP-трудна для k-регулярных графов, то она также должна быть NP-трудна для (k + 1) -регулярных графов. Вот сокращение «обратно за конверт», которое мне подходит, но, конечно, может быть и ошибка.

Пусть G k-регулярный граф. Пусть G 'графово декартово произведение G и ребро. Другими словами, G '- это граф, имеющий две копии G, и каждая вершина связана с его копией. G 'теперь (k + 1) регулярно, так как каждая вершина получила 1 дополнительное ребро.

Утверждение: G имеет гамильтонов цикл, если и только если G 'имеет гамильтонов цикл.

Доказательство: если G имеет гамильтонов цикл, легко видеть, что G тоже имеет его. Скажем, (u, v) - ребро в гамильтоновом цикле. Пройдите цикл от u до v без использования этого ребра, и теперь вместо использования ребра перейдите к v 'из v, где v' - это вершина, соответствующая v в копии G. Теперь перейдите цикл в обратном порядке. на этом графике, который вернет нас к вам. Теперь перейдите от u к u, что завершает цикл.

Если G 'имеет гамильтонов цикл, начинающийся с вершины u, рассмотрим одну и ту же последовательность обходов на G. Каждый раз, когда выполняется перемещение к смежной вершине в том же графе, мы делаем одно и то же движение в G. Каждый раз, когда выполняется движение до соответствующей вершины в другом графе мы ничего не делаем. Поскольку каждое движение верно на графе G и цикл заканчивается в вершине u, это гамильтонов цикл.