Асимптотически, сколько перестановок из

Рассмотрим перестановку $\sigma$ из $[1..n]$ . Инверсия определяется как пара $(i, j)$ индексов, такая что $i < j$ и $\sigma(i) > \sigma(j)$ .

Определите $A_k$ как число перестановок в $[1..n]$ с не более чем $k$ инверсиями.

Вопрос: Какова жесткая асимптотическая оценка для $A_k$ ?

Ранее был задан связанный вопрос: количество перестановок, имеющих одинаковое расстояние Кендалла-Тау

Но вопрос выше касался вычисления $A_k$ . Он может быть вычислен с использованием динамического программирования, поскольку он удовлетворяет рекуррентному отношению, показанному здесь: /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble -sort-свопы

Количество перестановок с ровно $k$ инверсиями также было изучено и может быть выражено в виде производящей функции: http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversions

Но я не могу найти формулу замкнутой формы или асимптотическую оценку.

co.combinatorics permutations

— Винаяк Патхак
источник

Если у вас есть порождающий полином для последовательности, вы можете вывести порождающий полином для сумм префиксов, просто умножив полином на

1 / (1 - x)

$1/(1-x)$ . В вашем случае вы использовали бы связанный с вами многочлен, который вычисляет ровно k инверсий.

— Суреш Венкат

Это oeis.org/A161169

— Саламон,

@SureshVenkat Спасибо за совет. Но я все еще буду застревать с поиском коэффициента

в этом действительно сложном полиноме в терминах

и я не вижу, как это сделать.

x^{k}

$x^k$

n

$n$

k

$k$

— Винаяк Патхак

чтобы получить коэффициент

, возьмите

производную производящего полинома и оцените его при

x^{k}

$x^k$

k

$k$

x = 0

$x = 0$

— Сашо Николов

Согласно Википедии, число перестановок в с ровно инверсиями является коэффициентом в Обозначим это через . Это показывает, что $S_n$ $k$ $X^k$

1 (1 + Икс) (1 + Икс + {Икс}^{2}) \dots (1 + Икс + \dots + {Икс}^{N - 1}),

$1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+\cdots+X^{n-1}).$

c (n, k)

$c(n,k)$

Таким образом, число перестановок в

с не более чем

инверсиями равно числу перестановок в

с ровно

инверсиями. Это также имеет хорошее комбинаторное доказательство (подсказка: возьмем

и удалим

с (N + 1, К) знак равно Σ_{L знак равно 0}^{К} с (N, К - L),

$c(n+1,k) = \sum_{l=0}^k c(n,k-l).$

S_{n}

$S_n$

k

$k$

S_{n + 1}

$S_{n+1}$

k

$k$

π \in S_{n + 1}

$\pi\in S_{n+1}$

n + 1

$n+1$

Если нас интересует только коэффициент , то факторы при не имеют значения. Таким образом, для , является коэффициентом в $X^k$ $X^m$ $m > k$ $n > k$ $c(n,k)$ $X^k$ Это подразумевает формулу

\begin{aligned} 1 (1 + Икс) \dots (1 + Икс + \dots + {Икс}^{К - 1}) (1 + Икс + \dots + {Икс}^{К} + \dots)^{N - К} \\ знак равно & 1 (1 + Икс) \dots (1 + Икс + \dots + {Икс}^{К - 1}) \frac{1}{(1 - Икс)^{N - К}} \\ знак равно & 1 (1 + Икс) \dots (1 + Икс + \dots + {Икс}^{К - 1}) Σ_{T знак равно 0}^{\infty} (\binom{T + N - К - 1}{T}) {Икс}^{T}, \end{aligned}

$\begin{align*} &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) (1+X+\cdots+X^k+\cdots)^{n-k} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \frac{1}{(1-X)^{n-k}} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \sum_{t=0}^\infty \binom{t+n-k-1}{t} X^t. \end{align*}$

с (N, К) знак равно Σ_{T знак равно 0}^{К} (\binom{N + T - К - 1}{T}) с (К, К - T), N > К,

$c(n,k) = \sum_{t=0}^k \binom{n+t-k-1}{t} c(k,k-t), \quad n > k.$

Когда является постоянным, наиболее важным асимптотически является термин, соответствующий , и мы имеем $k$ $t = k$ Та же самая асимптотика работает для, что вы и сделали.

с (N, К) знак равно (\binom{N - 1}{К}) + О_{К} (N^{К - 1}) знак равно \frac{1}{К!} N^{К} + О_{К} (N^{К - 1}),

$c(n,k) = \binom{n-1}{k} + O_k(n^{k-1}) = \frac{1}{k!} n^k + O_k(n^{k-1}).$

c (n + 1, k)

$c(n+1,k)$

Для непостоянных , используя тот факт, что $k$ $\binom{n+t-k-1}{t} = \binom{n+t-k-1}{n-k-1}$ $t$ $\sum_{t=0}^k c(k,t) \leq k!$

(\binom{N - 1}{К}) \leq с (N, К) \leq К! (\binom{N - 1}{К}),

$\binom{n-1}{k} \leq c(n,k) \leq k! \binom{n-1}{k}.$

— Юваль Фильмус
источник

c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) \leq e k^{k + 1 / 2} e^{- k} (e (n - 1) / k)^{k}

$c(n,k)\leq k!\binom{n-1}{k} \leq ek^{k+1/2}e^{-k}(e(n-1)/k)^k$

c (n, k) \leq e \sqrt{k} (n - 1)^{k}

$c(n,k) \leq e\sqrt{k}(n-1)^k$