Многоязычная минимизация DFA

Я заинтересован в небольшом обобщении DFA. Как обычно, мы имеем набор состояний , конечный алфавит , действие определенное на помощью , и начальное состояние ; но вместо обычного терминального множества, мы берем семейство подмножеств . Многоязычный DFA - это кортеж $Q$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $Q$ $\delta : Q\times\Sigma\rightarrow Q$ $q_0$ $(T_i)_{i\in 1..n}$ $Q$ $M$

$(Q, \Sigma, \delta, q_0, (T_i))$

и распознается если для некоторого . Определите как семейство языков, распознаваемых M, если хотите. $L \subseteq \Sigma^*$ $M$ $L = \{s\in\Sigma^*|q_0s\in T_i\}$ $i\in 1..n$ $(L_i(M))_{i\in 1..n}$

Хорошо, теперь мой вопрос: учитывая семейство регулярных языков , я хочу найти минимальный многоязычный DFA как описано выше, такой, что для все , то есть такие, чтосводится ко всем таким машинам. Мой вопрос: есть ли известные эффективные способы сделать это, возможно, аналогичные стандартной теории минимизации DFA? И наоборот, есть ли доказательства того, что эта проблема может быть сложной? $(L_i)_{i\in 1..n}$ $M$ $L_i = L_i(M)$ $i\in 1..n$ $|Q|$

automata-theory dfa

— gdmclellan
источник

Мне кажется, что стандартный алгоритм, основанный на уточнении разбиения, модифицированный только для начала путем разбиения исходного набора состояний по тому, принимают ли они / не принимают для каждого из заданных подмножеств а не для одного набора , должен просто работать немедленно. Почему бы и нет? Он разделяет пары состояний только тогда, когда они должны быть разделены, поэтому он все еще генерирует самое грубое уточнение состояний.

T_{i}

$T_i$

T

$T$

— Дэвид Эппштейн

Доказательство комментария от @DavidEppstein легко, если вы определите отношение эквивалентности если для каждого , где - отношение эквивалентности Майхилла-Нерода. Затем вы можете продолжить в том же направлении, что и стандартный алгоритм минимизации.

x \sim y

$x\sim y$

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i}y$

i

$i$

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i} y$

— Шал

не совсем понимаю. Является ли ответом на эту проблему нахождение минимального DFA объединения DFA с одинаковой «настройкой», за исключением разных конечных состояний, каждое DFA для ? Кроме того, определение распознавания , похоже, не имеет смысла, похоже, что это смешивает строки и наборы состояний.

1.. n

$1..n$

L = {. . .}

$L=\{...\}$

— 13

Замечания Дэвида Эппштейна и Шоулла выглядят убедительно, и я найду время, чтобы пересмотреть теорему Майхилла-Нерода, когда у меня будет время убедить себя, что частное все еще дает минимальный автомат. Оглядываясь назад, это кажется слишком очевидным.

— gdmclellan

@vzn: определенно не хочу объединять языки оригинального автомата; и может перекрываться. Многоязычным DFA с языками и должны быть в состоянии отчета, что , например, , но . Что касается нотации, используемой при определении распознавания языка, нотация определяется расширением до действия на по следующим правилам для всех : .

T_{i}

$T_i$

A

$A$

B

$B$

s \in A

$s\in A$

s \notin B

$s\notin B$

δ

$\delta$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

Q

$Q$

q \in Q, σ \in Σ, s \in Σ^{*}

$q\in Q, \sigma\in\Sigma, s\in\Sigma^*$

q σ = δ (q, σ), q (s σ) = (q s) σ

$q\sigma = \delta(q, \sigma), q(s\sigma) = (qs)\sigma$

— gdmclellan

Короткий ответ . Для конечного семейства регулярных языков существует уникальный минимальный детерминированный полный мультиавтомат, распознающий это семейство. $\mathcal{L} = (L_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$

Подробности . Случай соответствует стандартной конструкции, и общий случай не сильно отличается по духу. Для языка и слова пусть . Определите отношение эквивалентности на , установив как являются регулярными, это сравнение имеет конечный индекс. Кроме того, легко видеть , что каждый насыщается и что для каждого , означает $n = 1$ $L$ $u$ $u^{-1}L = \{ v \in A^* \mid uv \in L \}$ $\sim$ $A^*$

u \sim v ⟺ for each L \in L, u^{- 1} L = v^{- 1} L

$u \sim v \iff \text{for each }L \in \mathcal{L},\ u^{-1}L = v^{-1}L$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

\sim

$\sim$

a \in A

$a \in A$

u \sim v

$u \sim v$

u a \sim v a

$ua \sim va$ , Обозначим через пустое слово и -класса слова . Пусть будет детерминированным мультиавтоматом, определенным следующим образом:

1

$1$

[u]

$[u]$

\sim

$\sim$

u

$u$

A_{L} = (Q, [1], \cdot, (F_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n})

$\mathcal{A}_\mathcal{L} = (Q, [1], \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$

$Q = \{ [u] \mid u \in A^*\}$ ,
$[u] \cdot a = [ua]$ ,
$F_i = \{ [u] \mid u \in L_i\}$ .

По построению, тогда и только тогда, когда и, следовательно, принимает семейство . Осталось доказать, что минимален. На самом деле оно минимально в сильном алгебраическом смысле (что означает, что оно имеет минимальное число состояний). Пусть и два мультиавтомата. Морфизм - это сюръективное отображение из на такое, что $[1] \cdot u \in F_i$ $u \in L_i$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{A} = (Q, q_-, \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $\mathcal{A}' = (Q', q'_-, \cdot, (F'_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ $Q$ $Q'$

$f(q_-) = q'_-$ ,
для , , $1 \leqslant i \leqslant n$ $f^{-1}(F'_i) = F_i$
для всех и , . $u \in A^*$ $q \in Q$ $f(q \cdot u) = f(q) \cdot u$

Тогда для любого доступного детерминированного мультиавтомата принимающего , существует морфизм из в . Чтобы доказать это, сначала проверяется, что если , то . Теперь определяется как где - любое слово такое, что . Тогда можно показать, что удовлетворяет трем необходимым свойствам. $\mathcal{A}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $q_- \cdot u_1 = q_- \cdot u_2 = q$ $u_1 \sim u_2$ $f$ $f(q) = [u]$ $u$ $q_- \cdot u = q$ $f$

Конец немного отрывочный, дайте мне знать, если вам нужно больше деталей.

— J.-E. Штырь
источник