Графы, в которых каждый минимальный разделитель является независимым множеством

Фон: Пусть две вершины неориентированного графа . Множество вершин является -сепаратором, если и принадлежат различным связным компонентам . Если собственное подмножество -сепаратора является -сепаратором, то является минимальным -сепаратором. Множество вершин является (минимальным) разделителем, если существуют такие вершины , что является (минимальным) -сепаратором.$u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

Хорошо известная теорема Дж. Дирака гласит, что граф не имеет индуцированных циклов длиной не менее четырех (называемых триангулированным или хордовым графом) тогда и только тогда, когда каждый из его минимальных разделителей является кликой. Также хорошо известно, что триангулированные графы могут быть распознаны за полиномиальное время.

Мои вопросы: что такое графики, в которых каждый минимальный разделитель является независимым множеством? Эти графики изучены? И какова сложность распознавания этих графиков? Примеры таких графиков включают деревья и циклы.

Ваши графики были охарактеризованы в этой статье http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf .

Редактировать: В статье выше доказано, что графы, в которых каждый минимальный разделитель является независимым набором, являются точно такими, которые не содержат цикла с ровно одним аккордом.

Графы, не содержащие циклов с ровно одним аккордом, были глубоко изучены Тротиньоном и Вусковичем . Теорема о структуре для графов без цикла с уникальным аккордом и их последствиями , J. Graph Theory 63 (2010) 31-67 DOI . В результате этой статьи эти графики могут быть распознаны за полиномиальное время. (Тем не менее, эта статья не указывает на связь с независимыми минимальными разделителями!)

Редактирование (17 сентября 2013 г.). Совсем недавно (см. Здесь ) Терри Макки описывает все графы, в которых каждый минимальный разделитель вершин является кликой или независимым множеством. Оказывается, что это «краевые суммы» хордовых графов и графов, в которых каждый минимальный вершинный разделитель является независимым множеством.

По-видимому, самая ранняя характеристика графов, в которой каждый минимальный разделитель является независимым множеством, появилась в TA McKee, «Независимые разделительные графы», Utilitas Mathematica 73 (2007) 217-224. Это именно те графики, в которых ни один цикл не имеет уникального аккорда (или, что то же самое, в котором в каждом цикле каждый аккорд имеет пересекающийся аккорд).

Есть две новые статьи на графиках без цикла, имеющие ровно один аккорд. Оба в основном имеют дело с раскраской этих графиков: http://arxiv.org/abs/1309.2749 и http://arxiv.org/abs/1311.1928 .

Последнее также дает алгоритм распознавания . Но более быстрый по времени уже представлен в статье Тротиньоном и Вусковичем (цитируется в ответе пользователя 13136).$O(m^2n)$$O(mn)$