Миры, относительно которых «неуязвимые генераторы» не существуют

Неуязвимые генераторы определяются следующим образом:

Пусть $R$ - отношение NP, а $M$ - машина, которая принимает $L(R)$ . Неформально программа является неуязвимым генератором, если на входе $1^n$ она создает пары свидетельства экземпляра $(x, w) \in R$ , где $|x| = n$ , согласно распределению, при котором любой противник за полиномиальное время, которому дано $x$ не может найти свидетельства того, что $x \in S$ с заметной вероятностью для бесконечно большого числа длин $n$ .

Неуязвимые генераторы, впервые определенные Abadi et al. нашел много приложений в криптографии.

Существование неуязвимых генераторов основано на предположении, что $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$ , однако этого, возможно, недостаточно (см. Также смежную тему ).

Теорема 3 Абади и соавт. В статье, приведенной выше, показано, что любое доказательство существования неуязвимых генераторов не релятивизируется:

Теорема 3. Существует оракул $B$ такой, что $\mathbf{P}^B \neq \mathbf{NP}^B$ , и неуязвимые генераторы не существуют относительно B.

Я не понимаю часть доказательства этой теоремы. Пусть $\sqcup$ обозначает непересекающуюся операцию объединения . Пусть $QBF$ - PSPACE-полный язык выполнимых количественных булевых формул, а $K$ - чрезвычайно разреженный набор строк максимальной колмогоровской сложности. В частности, $K$ содержит одну строку каждой длины $n_i$ , где последовательность $n_1, n_2, \ldots$ определяется следующим образом: $n_1 = 2$ , $n_i$ является трижды экспоненциальной по $n_{i-1}$ , для$i > 1$; если$x \in K$и$|x| = n$, то$x$имеет колмогоровскую сложность$n$.

В статье говорится , что по отношению к $B = QBF \sqcup K$ , то справедливо , что $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$ . Вы можете объяснить? (Также, пожалуйста, уточните, является ли $B$ рекурсивным.)

Если бы они просто говорили о (не связанной с ресурсами) сложности Колмогорова, то был бы невычислимым (в противном случае вы могли бы использовать машинное вычисление K для краткого описания строк x ∈ K , поскольку все, что вам нужно сделать, это описать машина и длина n от x , и мы имеем K ( x ) = n, но K ( n ) ≤ log n ), следовательно, B также будет невычислимым.$K$$K$$x \in K$$n$$x$$K(x) = n$$K(n) \leq \log n$$B$

$U$$K_U[f(n), g(n)]$$x$$d$$|d| \leq f(|x|)$$x = U(d)$$U(d)$$g(|x|)$$P \neq NP$

$tow_3(1)=2$$tow_3(n+1)=2^{2^{2^{n}}}$$C$$C \subseteq \{1^{tow_3(n)} : n \geq 1\}$$C \in TIME[n^{\log n}] - P$$tow_3(n)$$K[\log n, n^{\log n}] - K[\log n, n^{\log \log n}]$$K$$1^{tow_3(n)} \in C$$C = \{1^n : (\exists x)[|x|=n \text{ and } x \in K]\}$$C \in NP^{K}$

$C \notin P^{K}$$P^K \neq NP^K$$C \in P^{K}$$M$$C = L(M^K)$$C \in P$$C$$x = 1^{tow_3(n_0)}$

1. $K$$|x|$$\log \log \log |x|$$U(d)$$d$$|x|$

2. $M(x)$$M(x)$$|x|$

$y \in K$$M^K$ $y$$y$$y \in K[\log n, n^k]$$n^k$$M$$y$ $K[\log n, n^{\log \log n}]$