Означает ли существование общей задачи поиска

Легко видеть, что если то есть общие проблемы поиска которые не могут быть решены за полиномиальное время (создайте проблему общего поиска, имея как свидетелей для членства, так и свидетелей для не состоятельности). $\mathsf{NP}\cap\mathsf{coNP} \neq \mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

Верно ли и обратное, т.е.

Означает ли существование общей задачи поиска не решаемой за полиномиальное время, ? $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}\cap\mathsf{coNP} \neq \mathsf{P}$

cc.complexity-theory reference-request search-problem

— Кава
источник

Вы имеете в виду общую проблему поиска с проблемой решения NP? Является ли целочисленная факторизация такой проблемой?

— Мухаммед Аль-Туркистани

Я думаю, что он имеет в виду TFNP.

— domotorp

Ответы:

Я предполагаю, что P, NP и coNP в данном вопросе являются классами языков, а не классами проблем с обещаниями. Я использую то же соглашение в этом ответе. (На всякий случай, если вы говорите о классах проблем с обещаниями, то ответ утвердительный, потому что P = NP∩coNP как классы проблем с обещаниями эквивалентен P = NP.)

Тогда ответ отрицателен в релятивизированном мире.

Утверждение TFNP ⊆ FP известно как предложение Q в литературе [FFNR03]. Существует более слабое утверждение под названием Предложение Q ' [FFNR03], что каждое общее отношение NPMV с однобитовыми ответами находится в FP. (Здесь отношение с однобитовыми ответами означает подмножество {0,1} ^* × {0,1}.) Легко видеть, что предложение Q относительно какого-либо оракула подразумевает предложение Q 'относительно того же оракула.

Фортнау и Роджерс [FR02] рассмотрели отношения между утверждением P = NP∩coNP, предложением Q 'и несколькими другими связанными утверждениями в релятивизированных мирах. В частности, из теоремы 3.2 (или теоремы 3.3) в [FR02] следует, что существует оракул, относительно которого P = NP∩coNP, но предложение Q 'не выполняется (и, следовательно, предложение Q также не выполняется). Следовательно, в релятивизированном мире P = NP∩coNP не влечет предложение Q; или, принимая противоположность, существование отношения TFNP, которое не может быть вычислено за полиномиальное время, не подразумевает P ≠ NP∩coNP.

Ссылки

[FFNR03] Стивен А. Феннер, Лэнс Фортноу, Ашиш В. Найк и Джон Д. Роджерс. Инвертирование на функции. Information and Computing , 186 (1): 90–103, октябрь 2003 г. DOI: 10.1016 / S0890-5401 (03) 00119-6 .

[FR02] Лэнс Фортноу и Джон Д. Роджерс. Отделимость и односторонние функции. Вычислительная сложность , 11 (3–4): 137–157, июнь 2002 г. DOI: 10.1007 / s00037-002-0173-4 .

— Цуёси Ито
источник

Спасибо, Цуёси. Существует также результат во второй версии проблемы, которая показывает, что ответ там доказуемо отрицателен: Пол Бим, Стивен А. Кук, Джефф Эдмондс, Рассел Импальяццо и Тонианн Питасси, « Относительная сложность проблем поиска NP », 1998

— Каве

C : 2^{n + 1} \to 2^{n}

$C:2^{n+1}\to2^n$

C

$C$

@Kaveh: я не уверен, что понимаю ваш вопрос в комментарии. В нерелятивизированном мире единственный способ сказать, что «P = NP∩coNP» и «TFNP⊆FP» не эквивалентны, - это показать, что первое верно, а второе нет, если мы не докажем некоторую логическую независимость. результат. Но распространенное мнение состоит в том, что P ≠ NP∩coNP, что означает, что «P = NP∩coNP» и «TFNP⊆FP» эквивалентны (поскольку оба являются ложными). Поэтому я не знаю, какую гипотезу вы ищете.

— Tsuyoshi Ito

T F N P

$\mathsf{TFNP}$

P^{N P \cap c o N P}

$\mathsf{P^{NP\cap coNP}}$

@Kaveh: Вы говорите о неэквивалентности между двумя предложениями «P = NP∩coNP» и «TFNP⊆FP», или о неэквивалентности между чем-то еще?

— Цуёси Ито

$NP \cap co-NP$

— domotorp
источник

T F U п \neq F п ⟹ N п \cap с о N п \neq п ⟹ T F N п \neq F п

$\mathsf{TFUP} \neq \mathsf{FP}\implies \mathsf{NP}\cap\mathsf{coNP} \neq \mathsf{P} \implies \mathsf{TFNP} \neq \mathsf{FP}$

T F N п \neq F п ⟹ T F U п \neq F п

$\mathsf{TFNP} \neq \mathsf{FP} \implies \mathsf{TFUP} \neq \mathsf{FP}$

Я не могу сказать, что МЫ не знаем, но я точно не знаю. Конечно, если мы допустим рандомизированные сокращения, то вы можете выполнить трюк Valiant-Vazirani, и последнее значение также станет верным. (Если я не ошибаюсь ...)

— domotorp

F P

$\mathsf{FP}$

T F U P

$\mathsf{TFUP}$

T F N P

$\mathsf{TFNP}$

F P

$\mathsf{FP}$

Да отлично.

— Домоторп

Кажется, что Valiant-Vazirani здесь не работает (или, по крайней мере, я не понимаю, как это работает). Проблема заключается в том, что результатом является многообещающая проблема, например, SAT to USAT. Нам нужна не обещающая проблема. И, кажется, есть основания полагать, что эти два не должны быть равны. Я опубликую новый вопрос о TFNP и TFUP.

— Каве