Когда расслабленно считать трудно?

Предположим, что мы решили проблему подсчета правильных раскрасок путем подсчета взвешенных раскрасок следующим образом: каждая правильная раскраска получает вес 1, а каждая неправильная раскраска получает вес где c - некоторая постоянная, а v - число ребер с конечными точками, окрашенными одинаково. Поскольку c переходит в 0, это сводится к подсчету правильных раскрасок, что сложно для многих графиков. Когда c равно 1, все раскраски получают одинаковый вес, и проблема тривиальна. Когда матрица смежности графа, умноженная на - log ( c ) / 2, имеет спектральный радиус ниже 1 - $c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$эта сумма может быть аппроксимирована путем распространения убеждений с гарантией сходимости, поэтому на практике это легко. Это также легко в теории, потому что конкретное дерево вычислений демонстрирует затухание корреляций и, следовательно, допускает алгоритм полиномиального времени для гарантированного приближения - Tetali, (2007)

Мой вопрос - какие другие свойства графа затрудняют эту задачу для локальных алгоритмов? Трудно в том смысле, что можно решить только небольшой диапазон .$c$

Edit 09/23 : До сих пор я сталкивался с двумя детерминированными алгоритмами полиномиальной аппроксимации для этого класса задач (производные от работы Вейца STOC2006 и подхода Гамарника «расширение полости» для приближенного подсчета), и оба подхода зависят от фактора ветвления избегая прогулок по графику. Спектральный радиус подходит, потому что это верхняя граница этого фактора ветвления. Тогда возникает вопрос - это хорошая оценка? Может ли быть у нас последовательность графов, в которой фактор ветвления самонастраивающихся прогулок ограничен, а фактор ветвления регулярных прогулок растет без ограничений?

Редактировать 10/06 : Эта статья Аллана Слая (FOCS 2010) кажется актуальной ... результат показывает, что фактор ветвления бесконечного дерева обходов, избегающих себя, точно отражает точку, в которой счет становится трудным.

Изменить 10/31 : гипотезы Алана Сокаля ( стр.42 из "Многомерного полинома Тутте" ), что существует верхняя граница радиуса области без нуля хроматического полинома, которая является линейной с точки зрения maxmaxflow (максимальный поток st над все пары с, т). Это представляется актуальным, поскольку корреляции на большие расстояния появляются по мере приближения числа подходящих раскрасок к 0.

Это сложно для плоских графиков, по крайней мере, для шести или более цветов. См. «Неприводимость многочлена Тутте плоского графа» Гольдберга и Джеррума.

Еще несколько комментариев:

Локальный алгоритм подсчета будет вычислять счет из набора статистики для каждого узла, где каждая статистика является функцией некоторого графа окрестности узла. Для раскрасок эти статистические данные связаны с «предельной вероятностью встречи с цветом с». Вот пример этого сокращения для простого графика.

Из недавней работы Алана Слайя следует, что подсчет независимых множеств с использованием локального алгоритма так же сложен, как подсчет независимых множеств с использованием любого алгоритма. Мое подозрение, что это верно для общего подсчета на графиках.

Для локальных алгоритмов твердость зависит от того, как корреляция между узлами ведет себя относительно расстояния между узлами. Для достаточно больших расстояний эта корреляция по существу имеет только два поведения - либо корреляция экспоненциально затухает в расстоянии графика, либо не затухает вообще.

При экспоненциальном затухании локальная статистика зависит от окрестности, размер которой полиномиален по размеру графа, поэтому проблема подсчета проста.

В моделях статистической физики было отмечено (т. Е. Де Жен, Эмери), что существует связь между самоходными прогулками, затуханием корреляции и фазовыми переходами. Точка, в которой производящая функция для самоходных блужданий по решетке становится бесконечной, соответствует температуре, при которой в модели появляются дальние корреляции.

Из построения самозападающегося дерева прогулок Вейца видно, почему самонастраивающиеся прогулки встречаются с затуханием корреляции - маргинальный может быть представлен точно как корень дерева избегающих прогулок, поэтому, если фактор ветвления этого дерева достаточно маленькие, листья дерева со временем становятся неактуальными.

Если «местная жесткость» подразумевает твердость, то достаточно количественно определить свойства, которые определяют скорость роста самообороняющихся прогулок. Точная скорость роста может быть извлечена из производящей функции для самостоятельных прогулок, но ее трудно вычислить. Спектральный радиус легко вычисляется и дает нижнюю границу.

Некоторые комментарии: не ответ.

$c$$c$$c \in [0,\epsilon)$$\epsilon > 0$$c$$c$

$c$

Вы запрашиваете структурные свойства класса графов, которые позволили бы решить проблему. Насколько я могу сказать, это будет трудно почти всегда. Но это очень схематично и требует дополнительной работы.