NP-сложные проблемы на графах расширителей?

В презентации 2006 года под названием EXPANDER GRAPHS - ОСТАЮТСЯ ЛИ какие-то ТАЙНЫ? Нати Линиал поставил следующую открытую проблему:

Какие трудные вычислительные задачи на графе остаются сложными, когда они ограничены графами расширителей? $NP$

С тех пор был ли достигнут какой-либо прогресс в доказательстве такого результата для трудной задачи? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Может, кто-нибудь уточнит, почему этот вопрос интересен? У нас есть примеры, когда NP-сложные задачи становятся легкими, когда они ограничены графами расширителей?

— Юкка Суомела

@Jukka: Расширители могут быть

нерегулярными для малых

(например,

), однако некоторые NP-сложные задачи легко подходят для класса

графов максимальной степени для малых

(например, ЦВЕТА ГРАФИКА для

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$

d

$d$

d < 4

$d<4$

— Андрас Саламон

@ Андрас: Конечно, но это на самом деле не связано со свойствами расширения. Позвольте мне перефразировать: есть ли у нас примеры проблем, которые сложны для

регулярных графов, но просты для

регулярных графов расширителей?

d

$d$

d

$d$

— Юкка Суомела

@Jukka: Было показано, что уникальные игры имеют алгоритмы аппроксимации полиномиального времени, когда граф ограничений является экспандером [Arora-Khot-Kolla-Steurer-Tulsiani-Vishnoi STOC '08]. Не известно, что это имеет место для общих графов, и если бы UGC были верны, на самом деле не было бы алгоритмов полиномиального времени. Я воспринял это как мотивацию для вопроса о Турции.

— Арнаб

@ Юкка, моя мотивация - понять связь между случайными свойствами расширителей и вычислительной сложностью задач. Например, я не ожидаю, что независимый набор будет легок для расширителей.

— Мухаммед Аль-Туркистани

Ответы:

Если «неуравновешенные расширители» считаются расширителями для целей этого вопроса (неуравновешенный расширитель: двудольный граф , такой что для каждого подмножества , , доля ребра между и составляют около $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ), то да, многие проблемы на расширителях (например, проблемы удовлетворения ограничений) трудно поддаются аппроксимации.

В частности, доказательство теоремы PCP с двумя запросами с малой ошибкой [совместно с Ран Рацем в 2008 году] строит графы расширителей.

— Дана Мошковиц
источник

В своей последней строке вы хотите сказать, что ваша статья создает несбалансированные расширители, потому что тогда у вас может быть ответ на этот вопрос: cstheory.stackexchange.com/questions/592/…

— Suresh Venkat

Суреш: да, в статье создаются несбалансированные расширители / пробоотборники / экстракторы, но не лучше, чем известные конструкции таких.

— Дана Мошковиц

Я предполагаю, что может быть легко показать, что многие точные задачи (и, возможно, проблемы сильных приближений) NP-трудны для расширителей. Идея состоит в том, что если вы возьмете произвольный граф степеней на вершин и добавите еще один расширитель на непересекающихся вершин, и поместите соответствие между и , то вы получите расширитель. Причина в том, что любой набор, содержащий менее половины вершин, будет иметь либо постоянную долю совпадающих ребер вне его, либо его пересечение с будет иметь, как не более доли вершин $G$ $n$ $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$

Поскольку вы можете выбрать произвольно (скажем, взять случайный граф), вы можете знать оптимальное решение для вашей задачи NP в , и, следовательно, может быть надежда (в зависимости от проблемы), что при решении для комбинированного графа вы можете получить по меньшей мере , приближенное решение для . Но я не проверял это ни для какой конкретной проблемы. $H$ $H$ $G$

Конечно, как упомянуто выше, существуют естественные проблемы (особенно уникальные игры), когда нельзя делать такие трюки, и, в частности, алгоритмы известны для расширителей и не известны в общем случае. Нужно также иметь возможность придумать какой-нибудь надуманный пример задачи, которая является NP сложной в общем случае, но простой для расширителей (например, взять некоторую произвольную сложную задачу NP на графах и изменить ее так, чтобы все случаи со спектральным зазором более являются ДА ...). $1/\log n$

— Боаз Барак
источник