Параллельные алгоритмы для направленной st-связности

Чонг, Хан и Лэм показали, что ненаправленное соединение через st-соединение может быть решено с помощью EREW PRAM за с помощью процессоров. Какой самый известный параллельный алгоритм для направленной st-связности ? Пожалуйста, укажите время работы, детерминированный / рандомизированный алгоритм и используемую модель PRAM (предполагая, что число процессоров является полиномиальным). Известны ли какие-либо параллельные по времени алгоритмы для особых случаев направленной st-связности? $O({\log}n)$ $O(m+n)$ $o({\log}^2{n})$

dc.parallel-comp

— Шива Кинтали
источник

Википедия говорит, что poly (n) процессоров + время полилога в EREW PRAM такое же, как в NC. Я не очень знаком с моделью EREW PRAM, но есть ли связь между

time (и полиномиально многими процессорами) и

? Другими словами, есть ли способ перефразировать ваш вопрос в терминах схем с ограниченной глубиной?

(\log n)^{i}

$(\log n)^i$

N C^{i}

$NC^i$

— Робин Котари

разные модели параллельного ОЗУ эквивалентны до логарифмических коэффициентов, поэтому, хотя EREW PRAM совпадает с NC, это может быть неверно для определенных мощностей журналирования.

— Суреш Венкат

При соответствующих ограничениях на набор вторжений время O (входа в систему) в CRCW PRAM является точно одинаковым AC ^ i, для i> = 1.

— Кристоффер Арнсфельт Хансен

Если есть направленный

путь, возможно ли его найти?

s - t

$s-t$

— Кумар

Ответы:

Направленная достижимость может быть легко достигнута с использованием O ( ) процессоров и времени O ) на CRCW-PRAM или в O ( ) процессорах и O ( ) времени на EREW-PRAM, где - показатель умножения матриц, а - число вершин. Следующая статья утверждает, O ( ) и O ( $n^3$ $(\log n$ $n^\omega$ $\log^2 n$ $\omega<2.376$ $n$ $n^\omega$ $\log n$ ) время на CREW-PRAM: «Оптимальные параллельные алгоритмы для транзитивного замыкания и расположения точек в плоских структурах» Тамасии и Виттера. Другие статьи утверждают то же самое и цитируют обзор Карпа и Рамачандрана (Параллельные алгоритмы для машин с общей памятью, в: J. van Leeuwen (Ed.), Handbook of теоретическая информатика). В самом опросе упоминается, что транзитивное замыкание происходит в AC1 и, следовательно, может быть решено за O (log n) на CRCW-PRAM, но часть о CREW-PRAM отсутствует.

Все подобные Штрассену алгоритмы для умножения матриц (включая алгоритм Копперсмита-Винограда) являются по существу параллельными алгоритмами, которые выполняются за время O ; транзитивное замыкание влечет за собой дополнительный журнал (но если вы разрешите неограниченное разветвление, то тривиальная матрица O ( ) может быть выполнена с постоянной глубиной, и поэтому достижимость составляет время O в CRCW-PRAM). Это открытая проблема для улучшения числа процессоров с текущей лучшей ~ ; это также большая открытая проблема, если достижимость в NC1, поскольку это подразумевает L = NL среди других вещей. $(\log n)$ $n^3$ $(\log n)$ $n^{2.376}$

— Virgi
источник

Можете ли вы добавить ссылки.

— Шива Кинтали

Я знаю только о времени O (log n) в CRCW PRAM. Вы это имели в виду?

— Кристоффер Арнсфельт Хансен

O (logn) на CREW это здорово. Вот что я ищу. Я хотел бы принять ваш ответ. Пожалуйста, добавьте ссылку.

— Шива Кинтали

Нам нужно O (logn) итераций умножения матриц для решения st-связности.

— Шива Кинтали

В терминах параллельных алгоритмов вам нужно O (log n) итераций матрицы mult для решения достижимости; это не относится к последовательным алгоритмам, так как вы можете делать некоторые умные рекурсивные вещи (см. Fisher & Meyer'71). Однако, если ваша модель вычислений допускает неограниченное разветвление (как в случае AC1 и, следовательно, CRCW PRAM), матрица Mult может выполняться с постоянной глубиной, и поэтому транзитивное замыкание может выполняться с логарифмической глубиной.

— Дева

В книге Джозефа Яха (1992) «Введение в параллальные алгоритмы» перечислены следующие результаты для транзитивного замыкания:

$O(\log n)$ $O(n^3 \log n)$
$O(\log^2 n)$ $O(n^\omega \log n)$

$O(\log n)$

$u$ $v$ $u$ $v$

— Кристоффер Арнсфельт Хансен
источник

Таким образом, кажется, что поиск o (log ^ 2 {n}) параллельного по времени алгоритма на CREW PRAM для общих ориентированных графов является открытой проблемой.

— Шива Кинтали

Обратите внимание, что я сказал o (log ^ 2 {n}), а не O (log ^ 2 {n}).

— Шива Кинтали

Если вы хотите, чтобы работа была небольшой, а не просто полиномиальной, есть элегантный алгоритм Уллмана и Яннакакиса, который позволяет найти компромисс между временем и работой. Таблица 1 в моей статье о параллельном вычислении сильно связанных компонентов суммирует результаты параллельной направленной связи, о которых я знаю: http://www.cs.brown.edu/~ws/papers/scc.pdf .

— Уоррен Шуди
источник