Комплексный анализ в теоретической информатике

24

Существует множество применений реального анализа в теоретической информатике, охватывающих тестирование свойств, сложность коммуникации, обучение PAC и многие другие области исследований. Тем не менее, я не могу думать о каком-либо результате в TCS, который опирается на комплексный анализ (за исключением квантовых вычислений, где комплексные числа являются неотъемлемой частью модели). У кого-нибудь есть пример классического результата TCS, который использует комплексный анализ?

soft-question big-picture

1

Отличный вопрос! Я предположил бы, что было бы лучше исключить результаты, относящиеся к теории чисел - например, любое использование гипотезы Римана - а не квантовые вычисления, которые, как правило, касаются конечномерных систем (насколько я знаю).

— Колин Маккуиллан

11

Мы используем комплексный анализ в статье «Константа Гротендика строго меньше, чем граница Кривина», которая (с точки зрения TCS) дает алгоритм аппроксимации для задачи максимизации условии . См. Ttic.uchicago.edu/~yury/papers/grothendieck-krivine.pdf

\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} y_{j}

$\sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j$

x_{i}, y_{j} \in {\pm 1}

$x_i, y_j\in \{\pm 1\}$

— Юрий

3

@ Юрий, это вполне может быть ответом.

— Суреш Венкат

14

Комплексный алгоритм Барвинока для аппроксимации алгоритмов постоянного полиномиального времени для аппроксимации постоянных и смешанных дискриминантов в пределах простого экспоненциального множителя .

Также, очевидно, сложные операторы (и некоторый комплексный анализ) важны в квантовых вычислениях.

Позвольте мне также порекомендовать эту книгу: « Темы в анализе производительности» Эйтана Бахмата со множеством важных вопросов и многого другого.

— Гил Калай
источник

Это отличный пример, я не знал об этом результате - спасибо!

25

Это не единственная проблема, но вся область аналитической комбинаторики (см. Книгу Флажоле и Седжвика ) исследует, как анализировать комбинаторную сложность ~~подсчета~~ структур (или даже времени выполнения алгоритма), записывая соответствующую функцию генерации и анализируя структуру комплексных решений.

— Суреш Венкат
источник

Привет Суреш, что ты имеешь в виду под «анализировать сложность»?

— Энди Друкер

2

Ах, я неправильно написал. Я имел ввиду "проанализировать комбинаторную сложность структур" - исправлю.

— Суреш Венкат

15

Джон Келнер получил премию STOC за лучшую студенческую работу в 2004 году за работу «Спектральное разбиение, границы собственных значений и окружности для графов ограниченного рода».

Я просто процитирую из резюме:

В качестве нашей основной технической леммы мы докажем оценку O (g / n) на втором наименьшем собственном значении лапласиана таких графов и покажем, что она точная, что позволило решить гипотезу Спилмана и Тенга. Хотя эта лемма по сути своей комбинаторна по своей природе, ее доказательство исходит из непрерывной математики, основанной на теории круговых упаковок и геометрии компактных римановых поверхностей.

Использование комплексного анализа (и другой «непрерывной» математики) для атаки на «традиционные» проблемы разделения графов было запоминающимся и является главной причиной, по которой эта статья застряла в моей голове, хотя она совершенно не связана с моими исследованиями.

— Мугизи Рвебангира
источник

8

Я предполагаю, что вас больше интересует сложный анализ, используемый непосредственно в доказательстве. Тем не менее, вот два примера из класса алгоритмов для выпускников, который я сейчас посещаю:

а) Быстрое преобразование Фурье, например, используемое при полиномиальном умножении. Хотя реализация может быть выполнена с помощью арифметики по модулю или с плавающей запятой (и некоторого арифметического анализа), доказательство лучше всего понять с точки зрения комплексных чисел и их корней из единства. Я не углубился в эту тему, но я знаю, что FFT имеет широкий спектр применений.

б) Как правило, оснащение модели ОЗУ способностью обрабатывать комплексные числа в постоянное время (действительная и мнимая части по-прежнему имеют конечную точность) позволяет ловко кодировать проблемы и использовать свойства комплексных чисел, которые могут выявить решение (см. также комментарии, почему это не позволит вам быть быстрее).

— chazisop
источник

У вас есть пример второго наблюдения? Добавление стандартного ОЗУ класса O (log n) -bit) в стандартную оперативную память с постоянными операциями тривиально. Или под «быстрее» вы имеете в виду «быстрее в 2 раза»?

— Джеффс

Это было упражнение из лекции: «Предположим, вы имеете дело с расширенной оперативной памятью, которая может вычислять с комплексными числами по удельной стоимости за умножение, деление, сложение и вычитание. Кроме того, она также может вычислять абсолютное значение | c | комплексное число c в единицу времени. Кроме того, оно «знает» комплексные константы 0, 1 и I. Покажите, что при заданном натуральном числе n в такой расширенной памяти RAM число n! может быть вычислено в

время. В решении используется полиномиальное умножение, насколько я знаю, это быстрее, чем стандартная модель ОЗУ.

O (\sqrt{n} \log^{2} n)

$O( \sqrt{n} \log ^{2} n)$

— chazisop

6

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

o (n)

$o(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

Спасибо за комментарий, это очень поучительно. Я думаю, что я должен обновить свой ответ до части только умного кодирования проблемы со сложными числами, то есть, чтобы увидеть решение, которое вы пропустили бы в противном случае.

— chazisop

6

Возможно, это приложение чем-то между TCS и Disc math, но я немного удивился, когда прочитал статью Петра Савицкого «О изогнутых булевых функциях, которые симметричны» (http://www2.cs.cas.cz/~savicky/ документы / symmetric.ps). Теоремы касаются только булевых функций, однако в одном из доказательств используются комплексные числа.

— Магнус Найти
источник

5

Мы используем теорему Остатка Коши из комплексного анализа в качестве основного технического инструмента в нашей статье « Аппроксимация линейных предельных пределов ».

— MCH
источник

5

Теорема об упаковке кругов Кобе-Андреева-Терстона зародилась в теореме риманова отображения и имеет различные алгоритмические аспекты. Например, это позволяет доказать теорему Липтона-Тарьяна о сепараторе для плоских графов.

— Гил Калай
источник

5

Свежий из духовки:

Алгоритм полиномиального времени для восстановления потерянного населения Автор: Анкур Мойтра, Майкл Сакс

Цитата из статьи: «Здесь мы докажем принцип неопределенности, изложенный в предыдущем разделе, используя инструменты комплексного анализа. Возможно, одной из наиболее полезных теорем для понимания скорости роста голоморфных функций в комплексной плоскости является теорема Адамара о трех окружностях. ..»

— Гил Калай
источник

σ

$\sigma$

p (0) - ϵ ‖ p ‖_{1}

$p(0) - \epsilon \|p\|_1$

n

$n$

p

$p$

‖ q ‖_{1} \leq 1

$\|q\|_1 \leq 1$

q

$q$

p

$p$

‖ \cdot ‖_{1}

$\|\cdot\|_1$ обозначает сумму абсолютных значений коэффициентов.

— Арнаб

‖ p ‖_{1} \geq ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$\|p\|_1 \geq \|p\|_{sup}^{D_1}$

D_{1}

$D_1$

p (0) - ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$p(0) - \|p\|_{sup}^{D_1}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$ , Осуществляя преобразование координат, мы попадаем в постановку теоремы о трех окружностях: голоморфная функция ограничена на точках в двух концентрических окружностях, ограничивая функцию на любой окружности промежуточного радиуса.

— Арнаб

‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}} \geq | p (0) |^{Ω (1)}

$\|p\|_{sup}^{D_1} \geq |p(0)|^{\Omega(1)}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$

5

$\ell_p$ $0 < p < 2$

Дэниел М. Кейн, Джелани Нельсон, Дэвид П. Вудрафф. О точной космической сложности зарисовки и потоковых малых норм. СОДА 2010.

Вы можете сойти с рук, написав доказательство, которое не содержит явного упоминания о сложном анализе (см. Первый пункт в разделе «Примечания» к этому документу на моей веб-странице), но даже в этом доказательстве скрыт сложный анализ.

— Джелани Нельсон
источник

4

Комплексные числа и анализ используются в недавней работе Наора, Регева и Видика, в результате чего получены результаты в алгоритмах аппроксимации для задач NP-сложной оптимизации: http://arxiv.org/abs/1210.7656

— Климент C.
источник

Еще одна статья, в которой используются случайные корни единства, - это Дэниел М. Кейн, Курт Мелхорн, Томас Зауэрвальд и Хе Сан. Подсчет произвольных подграфов в потоках данных. ICALP 2012.

— Джелани Нельсон

3

$n + O(n/\sqrt{k})$ $k$ $n \times n$ $n!/n^n$ Лораном и Шрайвером в MAA Monthly). Выход из реальной линии для комплексной плоскости кажется существенным для доказательства Гурвица и значительно упрощает дело.

— Сашо Николов
источник

0

$z \leftarrow z^2 + c$

[1] Недоступность и неразрешимость в вычислительных, геометрических и динамических системах Асаки Сайто, Кунихико Канеко

[2] Теория вычислений и сложности над действительными числами Ленор Блум, 1990

— ВЗН
источник

0

$\mathbb{C}$

— Reb.Cabin
источник