Эквивалентные определения конструктивности времени

Мы говорим, что функция $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ является конструируемой во времени , если существует детерминированная многоленточная машина Тьюринга $M$ которая на всех входах длины $n$ делает не более $f(n)$ шагов, и для каждого существует некоторый вход длина на которой делает точно шагов.n M f ( n $n$$n$$M$$f(n)$

Будем говорить , что функция является полной времени конструктивны , если существует детерминированный мульти-машине Тьюринга , что на всех входах длины делает именно шагов ,$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$n f ( n $M$$n$$f(n)$

Q1: существует ли функция, которая является конструируемой во времени и не полностью конструируемой во времени?

Ответ : да (см этот ответ ), если $EXP-TIME \neq NEXP-TIME$ . Может ли условие «да» быть усилено до ? Можно ли доказать «да»?$P\neq NP$

Вопрос 2: Изменится ли класс (полностью) зависящих от времени функций, если мы разрешим в определении только 2-лентные машины Тьюринга?

Q3: Каковы «доказуемые» причины полагать, что все приятные функции полностью конструируемы по времени?

Статья
Кодзиро Кобаяши: О доказуемости временной конструктивности функций. Теор. Вычи. Sci. 35: 215-225 (1985)
частично отвечает на вопрос 3. Частичное резюме и обновление этого в этом ответе . Я беру Q3 как ответ.

Исторически понятие счетной функции в реальном времени использовалось вместо (полностью) конструируемой во времени. Смотрите этот вопрос для более.

В последние несколько дней я много думал о (полностью) конструируемых во времени функциях, и я представлю то, что узнал, ответив на вопросы 1 и 3. Q2 кажется слишком сложным.

Q3:

Кобаяши в своей статье (ссылка на вопрос) доказал, что функция , для которой существует ϵ > 0 st f ( n ) ≥ ( 1 + ϵ ) n , вполне конструируема по времени, если она вычислимый в O ( F ( N ) ) времени. (обратите внимание, что не имеет значения, является ли вход или выход унарным / двоичным, поскольку мы можем преобразовать эти два представления в линейное время). Это делает следующие функции полностью зависящими от времени: 2 n ,$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$\epsilon>0$$f(n)\geq (1+\epsilon)n$$O(f(n))$$2^n$ , н ! , n ⌊ log n ⌋ , все многочлены p над N st p ( n ) ≥ ( 1 + ϵ ) n ... Кобаяши также полностью построил по времени для некоторых функций, растущих медленнее, чем ( 1 + ϵ ) n , например n + ⌊ ⌊ log n ⌋ q ⌋ для q ∈ Q + ...$2^{2^n}$$n!$$n\lfloor \log n \rfloor$$p$$\mathbb{N}$$p(n)\geq (1+\epsilon)n$$(1+\epsilon)n$$n+\lfloor\lfloor\log n\rfloor^q\rfloor$$q\in\mathbb{Q}^+$

Чтобы продолжить примеры полного времени конструктивны функций, можно доказать , что если и F 2 полностью времени конструктивны, то е 1 + ф 2 , е 1 е 2 , е е 2 1 и е 1 ∘ е 2 являются также полностью конструируемым во времени (последнее следует непосредственно из теоремы 3.1 в Кобаяси). Это в целом убеждает меня в том, что многие полезные функции действительно могут быть построены по времени.$f_1$$f_2$$f_1+f_2$$f_1f_2$$f_1^{f_2}$$f_1\circ f_2$

Удивительно, что Кобаяши не видел способа полностью доказать время-конструкцию (хорошей) функции (и я тоже).$\lfloor n\log n\rfloor$

Давайте также прокомментируем определение из статьи в Википедии : функция является конструируемой во времени, если существует машина Тьюринга M, которая при заданной строке 1 n выдает f ( n ) за O ( f ( n ) ) времени. $f$$M$$1^n$$f(n)$$O(f(n))$ Мы видим, что это определение эквивалентно нашему определению вполне временной конструкции для функций .$f(n)\geq (1+\epsilon)n$

Q1:

На этот вопрос есть действительно интересный ответ. Я утверждаю , что если все время-построимо функции полностью во времени конструктивны, то . Для доказательства возьмем произвольную задачу L ∈ N E X P - T I M E , L ⊆ { 0 , 1 } ∗ . Тогда существует k ∈ N , st $EXP-TIME=NEXP-TIME$$L\in NEXP-TIME$$L\subseteq\{0,1\}^*$$k\in\mathbb{N}$$L$может быть решена с помощью NDTM за 2 n k - 1 шагов. Для простоты можно предположить, что на каждом шаге M переходит не более чем в два разных состояния. Теперь определим функцию f ( n ) = { 8 n + 2 if  ( first  ⌊ k $M$$2^{n^k-1}$$M$

$$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$$

Я утверждаю, что конструируется во времени. Рассмотрим следующую детерминированную машину Тьюринга T :$f$$T$

• на входе длины n вычисляет ( сначала  ⌊ k $w$$n$заO(n)время$\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$$O(n)$
• затем он моделирует для этих битов, где биты w определяют, какой (ранее недетерминированный) выбор выбрать.$M$$w$
• принять, если .$\left(M\textrm{ accepts using choices given by }w\right)$

Обратите внимание, что длины ( = n ) достаточно, чтобы определить все недетерминированные варианты, так как M на входе ( сначала  ⌊ k $w$$=n$$M$составляет не болеепшагов.$\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$$n$

Мы можем заставить работать не более 8 n + 1 шагов. Теперь следующая машина Тьюринга доказывает, что f конструируется во времени:$T$$8n+1$$f$

• на входе длины n запустите T и подсчитайте количество шагов параллельно, чтобы было выполнено ровно 8 n шагов.$w$$n$$T$$8n$
• если отклонен или будет отклонен на следующем шаге, перейдите в состояние остановки на следующем шаге. Иначе, сделайте еще один шаг и затем перейдите в состояние остановки.$T$

Now suppose that $f$ is fully time-constructible. We will prove that this leads to $EXP-TIME=NEXP-TIME$.

The following algorithm solves $L$:

• on input $x$, let $n$ be the number with binary representation $x00\ldots 0$ ($|x|^{k-1}$ zeros). It follows that $x=\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$.
• compute $f(n)$ in time $f(n)$ and check whether it is divisible by 2.

This algorithm runs in exponential time and solves $L$. Since $L\in NEXP-TIME$ was arbitrary, $EXP-TIME=NEXP-TIME$.