Золотое сечение или пи во время работы

21

Есть много мест, где числа $\pi$ и $(1+\sqrt5)/2$ появляются. Мне любопытно узнать об алгоритмах, время выполнения которых содержит золотое сечение или $\pi$ в показателе степени.

reference-request big-list

— пламмер
источник

4

Есть ли какая-то конкретная вычислительная причина, чтобы подозревать, что это возможно? И, не зная, где это происходит, как вы думаете, есть ли какое-то конкретное понимание, которое можно получить, если оно произойдет?

— Ниль де Боудрап

13

Золотое сечение возникает при анализе сложности программ, сходных по рекурсивной структуре с рекурсией, включенной в числа Фибоначчи :

F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ .

— Мартин Бергер

11

Fortnow и Melkebeek время / пространство нижнего предела для SAT разрешимости содержала золотое сечение (

времени и

пространство); но показатель был улучшен позже Райаном Уильямсом.

n^{ϕ - ϵ}

$n^{\phi - \epsilon}$

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

— Марцио Де Биаси

2

@MarzioDeBiasi Я думаю, что ваш комментарий дает хороший ответ, даже если результат был улучшен. Интересно, что есть анализ, который дает золотое сечение в показателе степени

— Сашо Николов

1

@NieldeBeaudrap Я надеюсь увидеть некоторые примеры среди примеров. Например, показатель е обнаруживается во многих местах в рандомизированных алгоритмах. Меня это не удивляет, так как я знаю, что вид деятельности типа «шарики с мусором» приводит к ответам, которые включают e. Мне было интересно, можно ли что-то подобное сказать об алгоритмах, которые имеют золотое сечение во время выполнения.

— Пламмер

22

Это скорее основание, чем показатель степени, но есть время FPT в $O(\varphi^k n^2)$

« Эффективный трактируемый алгоритм с фиксированными параметрами для минимизации одностороннего пересечения », Вида Дуймович, Сью Уайтсайдс, Algorithmica 40: 15–31, 2004.

Кроме того, это нижняя граница, а не верхняя граница, но:

« нижней границы времени для имитации одной очереди или два Pushdown магазина от одной ленты », Пол MB Vitányi, Inf. Proc. Lett. 21: 147–152, 1985. $n^{1.618}$

Наконец, тот, который я пытался найти, когда натолкнулся на эти два других: дерево сэндвича с ветчиной, устаревшая в настоящее время структура данных в вычислительной геометрии для запросов треугольного диапазона, имеет время запроса . Таким образом, золотое сечение правильно в показателе степени, но с бревном, а не с самим собой. Структура данных представляет собой иерархическое разбиение плоскости на выпуклые ячейки с общей структурой двоичного дерева, где каждая ячейка и ее одноуровневый элемент в дереве разделены срезами ветчины. Время запроса определяется повторением $O(n^{\log_2\varphi})\approx O(n^{0.695})$ , что имеет вышеуказанное решение. Это описано (с более скучным названием) $Q(n)=Q(\frac{n}{2})+Q(\frac{n}{4})+O(\log n)$

« Полуплоскостной поиск в линейном пространстве и время запроса $O(n^{0.695})$ », Герберт Эдельсбруннер, Emo Welzl, Inf. Proc. Lett. 23: 289–293, 1986.

— Дэвид Эппштейн
источник

1

Я не уверен, что мне было бы удобно говорить, что

имеет

в показателе степени.

n^{\log_{2} φ} = φ^{\log_{2} n}

$n^{\log_2\varphi}=\varphi^{\log_2n}$

φ

$\varphi$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

18

(из моего комментария выше)

Fortnow и Melkebeek время / пространство нижнего предела для SAT разрешимости ( времени и пространство) содержал золотое сечение в показателе; но это было улучшено позже Райаном Уильямсом . $n^{\phi - \epsilon}$ $n^{o(1)}$

— Марцио де Биаси
источник

5

В то время как Райан Уильямс испортил ваш пример с Fortnow и Melkebeek, он также предоставил еще один пример в той же области: в cs.cmu.edu/~ryanw/automated-lbs.pdf он показывает, что нет доказательства торговли с чередованием

.

c o N T I M E [n] ⊈ N T I M E S P A C E [n^{ϕ + o (1)}, n^{o (1)}]

$\mathrm{coNTIME}[n]\nsubseteq\mathrm{NTIMESPACE}[n^{\phi+o(1)},n^{o(1)}]$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

15

Также в основе, а не в показателе степени: алгоритм Монена-Спекенмейера для 3-SAT имеет время работы . Это была первая нетривиальная верхняя граница для 3-SAT. $\varphi^n\cdot O(n)$

— Ян Йоханнсен
источник

10

Еще один пример в базе является алгоритм Андреаса Бьёрклунда и Тора Хусфельдта для вычисления четности числа направленных гамильтоновых циклов, которое выполняется за время . $\varphi$ $O(\varphi^n)$

http://arxiv.org/abs/1301.7250

— Тайсон Уильямс
источник

9

Также в основе: Алгоритм удаления-сжатия (Зыков, 1949) для вычисления количества раскрасок графов, выполняемых за время . Это очень канонический пример того, как золотое сечение появляется из повторения Фибоначчи для времени вычисления естественной рекурсивной формулы; Я уверен, что это самый старый. $O(\phi^{|E|+|V|})$

Микко Койвисто нашел алгоритм для вычисления числа совершенных совпадений (IWPEC 2009). $O(\phi^{|V|})$

— Тор Хусфельдт
источник

8

Золотое сечение в базе: очень недавний алгоритм FPT, разработанный Kociumaka и Pilipczuk. Более быстрый детерминистический набор вершин обратной связи вычисляет FVS размера за времени. (Затем они улучшают свой алгоритм для запуска во времени .) $k$ $O^*\left((2 + \phi)^k\right)$ $O^*(3.592^k)$

— VB Le
источник

-2

подробнее о комментарии Мартина Бергерса: древний евклидов алгоритм GCD работает в худшем случае на двух последовательных элементах последовательности Фибоначчи. более подробную информацию о Википедии, в которой также говорится:

Это доказательство, опубликованное Габриэлем Ламе в 1844 году, представляет собой начало теории вычислительной сложности [93], а также первое практическое применение чисел Фибоначчи [91].

технически алгоритм GCD выполняется в логарифмическом времени но золотое сечение проявляется в количестве шагов алгоритма. $O(\log(n))$

[1] какова временная сложность алгоритма Евклида , math.se

— ВЗН
источник

Чем отличается время и количество шагов?

— Николас Манкузо

извините, что должен прочитать # арифметических операций

— vzn

1

\log_{φ} N

$\log_{\varphi}N$

O ((\log N)^{2})

$O((\log N)^2)$ (то есть

O (n^{2})

O (n^{2})

O (n^{2})

O (n^{2})

$O(n^2)$ с точки зрения длины ввода).

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

см ссылку "позволять

T (a, b)

$T(a,b)$ быть числом шагов, предпринятых в евклидовом алгоритме.

T (a, b) = O (l o g_{ϕ} b)

$T(a,b)=O(log_\phi b)$ "

— vzn

1

Я не знаю, какую из ссылок вы имеете в виду, но в любом случае я просто разъясняю, что означает здесь «шаг», чтобы это имело смысл. Обратите внимание, что написание

O (\log_{ϕ} b)

$O(\log_\phi b)$ бессмысленно, так как логарифмы в любых двух базах

O

$O$ друг друга.

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику