Стоимость запроса эквивалентности для DFA

Вдохновленный этим вопросом , мне интересно следующее:

Какова сложность наихудшего случая проверки, принимает ли данный DFA тот же язык, что и данное регулярное выражение?

Это известно? Надежда будет заключаться в том, что эта проблема в P - что есть алгоритм полинома в размере обоих.

Согласно Garey and Johnson (стр. 174), НЕУНИВЕРСАЛЬНОСТЬ РЕГУЛЯРНОГО ВЫРАЖЕНИЯ является PSPACE-полной. Это проблема принятия решения , является ли регулярное выражение над вовсе не генерирует все строки. Так что ваша проблема также PSPACE-полная. $\{0,1\}$

Вот один из способов увидеть, что проблема ОП в PSPACE. Учитывая DFA и регулярное выражение , создайте NFA для и используйте конструкцию набора мощности, чтобы фактически построить DFA эквивалентный ; мы не будем хранить в памяти, но у нас есть оракулярный доступ к с использованием только полиномиального пространства. Теперь фактически построим DFA для симметричной разности и используя конструкцию продукта. Этот DFA не принимает строки (и поэтому $A$ $r$ $B$ $r$ $C$ $B$ $C$ $C$ $D$ $A$ $C$ $L(A) = L(r)$ ) если нет пути из исходного состояния в принимающее состояние. Поскольку достижимость находится в NL, а имеет размер , мы можем проверить, есть ли в , последнее равенство по теореме Савича. $D$ $2^{\mathrm{poly}(n)}$ $L(D) = \emptyset$ $\mathrm{NSPACE}(\mathrm{poly}(n)) = \mathrm{NPSPACE} = \mathrm{PSPACE}$

— Юваль Фильмус
источник

Вы уверены, что это в PSPACE (если бы не PSPACE-HARD)? Или, может быть, достаточно проверить все строки некоторой полиномиальной длины, чтобы увидеть, согласны ли регулярные выражения и DFA со всеми из них? Это очевидно? :-)

— Нил Янг

Помните, что достижимость в NL, поэтому даже если DFA, соответствующий регулярному выражению, является экспоненциальным, поскольку доступ к оракулу дешев, мы можем выяснить, пуста ли симметрическая разница или нет в NPSPACE = PSPACE.

— Юваль Фильмус

Я не вижу результат твердости. То есть, как вы сводите вышеуказанную проблему к универсальности регулярных выражений?

— Маркус

Выберите DFA, который принимает все. Чтобы показать твердость, вы уменьшаете НЕУНИВЕРСАЛЬНОСТЬ РЕГУЛЯРНОГО ВЫРАЖЕНИЯ к рассматриваемой проблеме.

— Юваль Фильмус

@YuvalFilmus Спасибо за ссылку! Вы, вероятно, должны добавить свой первый комментарий к своему ответу для полноты, в обоих значениях этого слова :)

— Лев Рейзин