Расширение оператора шума

В проблеме, над которой я сейчас работаю, естественно возникает расширение оператора шума, и мне было любопытно, была ли ранее работа. Сначала позвольте мне пересмотреть основной оператор шума для вещественных булевых функций. Для данной функции и , st , , мы определяем как $T_{\varepsilon}$$f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$$\varepsilon$$p$$0 \leq \varepsilon \leq 1$$\varepsilon = 1 - 2p$$T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$$T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ - это распределение по $y$ полученное путем установки каждого бита n- битного $n$вектора равным $1$ независимо с вероятностью $p$ и $0$ противном случае. Эквивалентно, мы можем думать об этом процессе как о переключении каждого бита $x$ с независимой вероятностью $p$ . Теперь этот оператор шума имеет много полезных свойств, в том числе мультипликативный $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ и имеет хорошие собственные значения и собственные векторы ( $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ где $\chi_S$ принадлежит базису четности).

Позвольте мне теперь определить мое расширение $T_\varepsilon$ , которое я обозначу как $R_{(p_1,p_2)}$ . $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ задается как $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ . Но здесь наше распределение $\mu_{p,x}$ таково, что мы переворачиваем $1$ бит $x$ в $0$ с вероятностью $p_1$ и $0$ бит $x$ в $1$ с вероятностью $p_2$ . ( $\mu_{p,x}$ теперь явно является распределением, зависящим от $x$ где вычисляется функция, и если $p_1 = p_2$тогда сводится к «обычному» оператору шума.)$R_{(p_1,p_2)}$

Мне было интересно, этот оператор уже хорошо изучен где-то в литературе? Или основные свойства этого очевидны? Я только начинаю с булева анализа, так что это может быть просто для кого-то более знакомого с теорией, чем я. В частности, меня интересует, имеют ли собственные векторы и собственные значения некоторую хорошую характеристику, или есть ли какое-либо мультипликативное свойство.$R_{(p_1,p_2)}$

Я отвечу на вторую часть вопроса.

I. Собственные значения и собственные функции

Давайте сначала рассмотрим одномерный случай $n=1$ . Нетрудно проверить, что оператор $R_{p_1,p_2}$ имеет две собственные функции: $1$ и

$$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$$ с собственными значениями $1$ и соответственно.$1-p_1 - p_2$

Теперь рассмотрим общий случай. Для , пусть ξ S ( х ) = Π я ∈ S ξ ( х я ) . Заметим, что ξ S является собственной функцией R p 1 , p 2 . Действительно, поскольку все переменные x i независимы, мы имеем R p 1 , p 2 ( ξ ( x ) $S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$$\xi_S$$R_{p_1,p_2}$$x_i$

$$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$$

Получаем, что является собственной функцией R p 1 , p 2 с собственным значением ( 1 - p 1 - p 2 ) | S | для каждого S ⊂ { 1 , … , n } . Поскольку функции ξ S ( x ) охватывают все пространство, R p 1 , p $\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$$(1-p_1-p_2)^{|S|}$$S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$не имеет других собственных функций (которые не являются линейными комбинациями ).$\xi_S(x)$

II. Мультипликативное свойство

In general, the “multiplicative property” doesn't hold for $R_{p_1,p_2}$ since the eigenbasis of $R_{p_1,p_2}$ depends on $p_1$ and $p_2$. However, we have

$$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$$ where $p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$ and $p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$. To verify that, first note that $R_{p_1,p_2}$ and $R_{p_1',p_2'}$ have the same set of eigenfunctions $\{\xi_S\}$. We have, $$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$$ since $$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$$

III. Relation to the Bonami—Beckner operator

Let us think of functions from $\{0,1\}^n$ to ${\mathbb R}$ as polylinear polynomials. Let $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$. Consider the operator

$$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$$ It maps every multilinear polynomial $f$ to a multilinear polynomial $A[f]$. We have, $$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$$ where $\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$. Note that parts I and II follow from this formula and properties of the Bonami—Beckner operator.

We were eventually able to analyze hypercontractive properties of $R_{p_1, p_2}$ (http://arxiv.org/abs/1404.1191), building off of the main Fourier analysis of $R_{p,0}$ by Ahlberg, Broman, Griffiths and Morris (http://arxiv.org/abs/1108.0310).

To summarize, the effect of a biased operator $R_{p,0}$ on a function $f$ can be analyzed as a symmetric noise operator in a biased measure space. This gives a weak form of hypercontractivity, which depends on how the $\ell_2$ norm of $f$ varies when switching to a choice of biased measure $\mu$ dependent on $p$.