Уютные кварталы «П» и «НП-хард»

Пусть - алгоритмическая задача. (Это может быть проблема решения, проблема оптимизации или любая другая задача.) Давайте назовем «на полиномиальной стороне», если известно, что допущение, что является NP-трудным, подразумевает, что полиномиальная иерархия разрушается. Давайте назовем «на стороне NP», если предположим, что допускает полиномиальный алгоритм, который, как известно, подразумевает, что полиномиальная иерархия разрушается.X X X $X$$X$$X$$X$$X$

Конечно, каждая проблема в P находится на полиномиальной стороне, и каждая проблема, являющаяся NP-трудной, находится на NP-стороне. Также, например, факторинг (или что-то в пересечении NP coNP) находится на полиномиальной стороне. Изоморфизм графа находится на полиномиальной стороне. КВАНТОВАЯ ОТБОРКА находится на стороне NP.

1) Меня интересует больше примеров (настолько естественных, насколько это возможно) алгоритмических задач в полиномиальной части и (особенно) больше примеров в NP-стороне.

2) Наивно выглядит, что сторона NP - это своего рода «окрестность» NP-трудных задач, а сторона P - это «окрестность точки P». Правильно ли считать, что проблемы на стороне NP "значительно сложнее" по сравнению с проблемами на стороне P. Или даже расценивать проблемы со стороны NP как «морально NP-hard»?

3) (Это может быть очевидно, но я этого не вижу) Есть ли с обеих сторон или есть теоретические причины полагать, что такой маловероятен. Обновление Ответ ДА; см. ответ Ювала Фильмуса ниже.$X$$X$

(Если эти «стороны» относятся к фактическим классам сложности, и если я пропускаю какой-то соответствующий жаргон или соответствующие результаты, пожалуйста, дайте мне знать.)

Обновить:На данный момент есть несколько очень хороших ответов на этот вопрос. Как впервые отметил Ювал Фильмус и упомянул еще раз, вопрос не является формальным, и необходимо некоторое ограничение на аргумент, показывающий, что X находится на стороне P / стороне NP. (В противном случае у вас может быть X, чтобы представить доказательство для 0 = 1 с обеих сторон.) Если оставить это в стороне, может случиться так, что проблемы X (обычно) на стороне NP захватывают каким-то образом твердость SAT, хотя это также может иметь место для некоторых проблем на стороне P, где твердость SAT ослаблена (даже немного) доказуемым образом. Ювал Фильмус дал ослабленную версию SAT, которая есть с обеих сторон. Энди Друкер дал (в двух ответах) пять интересных примеров, включая ссылку на низкую и высокую иерархии Шенинга, а Скотт Ааронсон привел еще несколько интересных примеров: упомянул вопрос об инверсии односторонней функции, которая близка к получению твердости NP, но все же на стороне P, и в его ответе также обсуждается интересный случай QUANTUMSAMPLING. Я упомянул старый результат такого рода Фейджем и Лундом.

Сами термины «на стороне P» и «на стороне NP» и, конечно же, название вопроса, побуждают нас представить себе «уютное соседство», окружающее P, и еще одно «уютное соседство», окружающее NP-трудные проблемы. Тем не менее, я бы хотел сказать, что эти два района совсем не такие «уютные»!

В качестве первого наблюдения, существуют проблемы «на стороне P», которые кажутся «морально» гораздо ближе к NP-hard, чем к P. Одним из примеров, ожидаемых, конечно, Джилом, является общая проблема обращения односторонних функций ( в зависимости от того, какой именно тип сокращения допустим (см. Богданов-Тревизан или Акавиа и др.).

И наоборот, есть также проблемы «на стороне NP», которые кажутся «произвольно далекими» от того, чтобы быть NP-сложными. Один глупый пример - случайный язык L с вероятностью 1 над L! Поскольку, если такой L находится в P, то 0 = 1 и математика несовместна, и поэтому PH также разрушается. ;-D

(Обратите внимание, что случайный язык L также «на стороне P», с вероятностью 1 над L. Почти у всех таких L есть свойство, что если они NP-жесткие, то NP⊆BPP и PH разрушаются. И это дает гораздо более простое, чем обращение к теореме Ладнера, доказательство того, что существуют языки с обеих «сторон». Действительно, это показывает, что из бесчисленной бесконечности языков «почти все» - фактически 100% - с обеих сторон!)

Это похоже на ювенильную игру, но я бы хотел извлечь из нее серьезный урок. Я бы сказал, что, хотя QUANTUM SAMPLING формально «на стороне NP», эта проблема едва ли ближе к тому, чтобы быть «морально NP-трудной», чем случайный язык L. Архипов и я (и независимо друг от друга, Бремнер-Джоса-Шепард) показали, что если QUANTUM SAMPLING находится в P (или, скорее, в SampBPP, классе полиномиально разрешимых задач выборки), то P ^#P = BPP ^NP и, следовательно, Полиномиальная иерархия разрушается. Тем не менее, если вы машина BPP, оракул для BosonSampling, насколько нам известно, не приблизит вас к решению NP-полной проблем, чем случайный оракул. Только если у вас уже есть возможность решать NP-полные задачи - скажем,^NP machine - вы «замечаете», что оракул BosonSampling еще больше расширяет ваши возможности, до #P. Но свойство повышения NP до #P, кажется, отличается от, и, возможно, даже "ортогонально", от способности быть NP-трудным самостоятельно.

Кстати, замечательная открытая проблема, предложенная вопросом Джила, заключается в том, находится ли BosonSampling также «на стороне P». То есть, можем ли мы показать, что если NP сводится к BosonSampling, то PH разрушается? Хотя я могу упустить что-то очевидное, на первый взгляд, я понятия не имею, как доказать такую ​​вещь, так же как и я не знаю, как доказать более сильный вывод, что если NP ⊆ BQP, то PH рухнет.

Два комментария, ни один из которых не является ответом, но который может обеспечить некоторое полезное дальнейшее чтение.

$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

Чтобы было ясно, нет никаких реальных доказательств того, что эта проблема не является NP-трудной, или что она легка в любом смысле. Но, похоже, он сильно отличается от других сложных проблем в NP. Я думаю, что это один из самых интересных кандидатов для NP-промежуточных задач, а не тот, который известен.

$X$

$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$является выполнимой формулой. Если существует двоичная строка длиной не более такая что то , в противном случае . Нетрудно проверить, что может быть вычислено по полиному времени от .$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

Наконец, мы можем определить алгоритмическую задачу : она состоит из всех пар для которых является выполнимой CNF. Обратите внимание, что .$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

Если имел многоволновой алгоритм то для всех и, таким образом, можно использовать для решения SAT.M i f ( n ) ≤ i n M $X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

Далее, предположим , что было сокращение полиномиальных от SAT к , скажем , принимая время . Если у был алгоритм polytime, то, как мы видели, PH сворачивается в P. В противном случае и, в частности, для . Таким образом, сокращение берет любой экземпляр SAT размером больше и либо уменьшает его до меньшего, либо выводит строку, которая не имеет форму ; последний случай может быть распознан в polytime, так как - polytime. ИтерацияХ н к Х е ( п ) ⟶ ∞ F ( п ) > к п ≥ п 0 г п 0 ( ф , 1 | ф | F ( | ф | ) ) е $g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$, мы получаем алгоритм polytime для SAT.

$PH$$P \neq NP$

$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

В ответ на вопрос Bodlaender, Downey, Fellows и Hermelin, Fortnow и Santhanam показали, что такое уменьшение сжатия маловероятно, потому что оно разрушило бы иерархию Poly:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

Их результат применяется к рандомизированным сокращениям, допускающим одностороннюю ошибку. Я доказал соответствующий результат для двусторонней ошибки в

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(Каждый из этих документов на самом деле дает более сильную и конкретную информацию, чем результаты, приведенные выше.)

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Я натолкнулся на этот результат, полученный Фейге и Лундом, который показывает, что, если полиномиальная иерархия не разрушится, трудно угадать даже очень частичную информацию о перманенте случайной матрицы.

Уриэль Фейдж и Карстен Лунд. О сложности вычисления перманента случайных матриц. Вычислительная сложность 6 (1996/1997) 101-132.

Позвольте мне также упомянуть два дополнительных соответствующих результата, на которые обратил мое внимание Ури Фейдж:

Следующие две статьи применяют это в контексте ядра (алгоритмы с фиксированными параметрами).

Ханс Л. Бодлаендер, Родни Г. Дауни, Майкл Р. Феллоуз, Дэнни Хермелин: О задачах без полиномиальных ядер. J. Comput. Сист. Sci. 75 (8): 423-434 (2009)

Лэнс Фортноу, Рахул Сантанам: Невозможность сжатия экземпляров и сжатых PCP для NP. J. Comput. Сист. Sci. 77 (1): 91-106 (2011)