Должна ли NP-полнота / твердость быть конструктивной?

Существует ли со следующими свойствами:$L\in {\bf NP}$

1. Известно , что влечет P = N P .$L\in {\bf P}$${\bf P}={\bf NP}$

2. Там нет (известного) полинома Тьюринга уменьшения (или какой -либо другой Н Р -полной проблемы) к L .$SAT$${\bf NP}$$L$

Другими словами, если полиномиальный алгоритм время для означает крах N P в P , то это необходимо , чтобы эта «общая жесткость» из L для N P должно быть каким - то образом с о н сек т р ¯u гр т я об е в том смысле, что, скажем, S A T должно быть приведено к L посредством некоторого конкретного сокращения?$L$${\bf NP}$${\bf P}$$L$${\bf NP}$$constructive$$SAT$$L$

Да, есть такие наборы, возьмите любой -средний набор (любой набор, который является доказуемо N P -средним, предполагающим P ≠ N P ), например, построите один из SAT, используя теорему Ладнера.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

Обратите внимание, что ваш должен учитывать промежуточную проблему N P , поскольку он находится в N P, но не завершен для нее. Отметим также , что вы предполагая , что P ≠ N P иначе нет таких L , как каждая нетривиальная задача была бы полной для N P , если N P = P . Кроме того, условия, которые вы задали, не подразумевают полноты, поэтому вопрос в первой части не совпадает с вопросом о конструктивности полноты.$L$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$$L$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}=\mathsf{P}$

Относительно вопроса в названии, т. Е. «Должна ли -твердость быть конструктивной?».$\mathsf{NP}$

Ответ зависит от того, что мы подразумеваем под «конструктивным». Классически, проблема решения определяется как N P- трудная, если$A$$\mathsf{NP}$

что значит

И по теореме Кука это эквивалентно

что значит

$A$$f$

Классически, даже когда у нас нет определенной функции, есть функция, говорящая, что невозможно, чтобы никакая функция не была редукцией, эквивалентна тому, чтобы сказать, что некоторая функция является редукцией. Чтобы говорить о конструктивности, нужно быть более внимательным. Например, мы можем говорить об утверждениях, которые доказуемы классически, но не конструктивно (например, интуиционизм, где имеет смысл другое состояние математического знания, Google для «идеального математика» или проверить это ).

Интуитивно мне кажется правдоподобным, что мы можем доказать такое утверждение, используя доказательство от противного и без какой-либо явной редукционной функции. Но это не будет означать, что нет конструктивного доказательства этого утверждения. Чтобы сказать больше, что никакого конструктивного доказательства не существует, мы должны быть более конкретными: доказательства в какой теории / системе? что мы подразумеваем под конструктивным доказательством?

$k$

«Изоморфный» отличается от редукции по Тьюрингу (на самом деле значительно более слабый), но было показано, что эти наборы напрямую связаны с NP-сложностью, и, насколько я знаю, никакого известного снижения SAT нет. Тем не менее, по определению NP-полноты между ними должно быть некоторое сокращение, поэтому, хотя это соответствует критерию «неизвестного» сокращения, оно может быть не совсем тем, что вы ищете.

[1] Джозеф Д. и Янг П. Некоторые замечания о функциях-свидетелях для неполиномиальных и неполных множеств в NP. Теоретическая информатика. том 39, стр. 225-237. 1985. Elsevier.

Ниже приведен пример для вопроса в заголовке. Он взят из следующей статьи: Ян Краточвиль, Петр Савицкий и Жольт Туза. Еще одно вхождение переменных делает скачок выполнимости с тривиального на np-полный. SIAM Journal of Computing, 22 (1): 203–210, 1993.

Пусть f (k) будет максимальным целым числом r таким, что каждое k-SAT форум, в котором каждая переменная встречается не более r раз, выполнимо. Неизвестно, является ли f (k) вычислимым, хотя для него известны относительно жесткие границы (см. Х. Гебауэр, Р. Мозер, Д. Шедер и Э. Вельцль. Локальная лемма и удовлетворенность. Эффективные алгоритмы, стр. 30–54, 2009 г.).

(k, s) -SAT - это проблема k-SAT, ограниченная форумом, в котором каждая переменная встречается не более s раз.

Краточвил и соавт. доказано, что (k, f (k) +1) -SAT является NP-полной. Отметим, что задачи (k, f (k)) - SAT всегда выполнимы (по определению). Само сокращение неконструктивно: обратите внимание, что сокращение выводит формулу, в которой каждая переменная встречается не более f (k) +1 раз, даже если неизвестно, что f (k) вычислимо. Основная неконструктивная идея состоит в том, что, хотя значение f (k) неизвестно, существует формула (k, f (k) +1) -SAT, которая является неудовлетворительной, и они манипулируют этой формулой в соответствии со своими потребностями. ,

Агравал и Бисвас представили NP-полный язык, для которого нет известного сокращения Карпа или Кука. Доказательство полноты следует потому, что его отношение-свидетель является универсальным (отношение-свидетель имеет требуемые операторы соединения и эквивалентности, которые должны быть универсальными). Язык приведен в разделе 6.3 в ссылке.

М. Агравал, С. Бисвас, Универсальные отношения в трудах IEEE Conferenceon Структура в теории сложности (1992), с. 207–220.