Наименьший набор не входит в набор наборов

Принимая во внимание в качестве входных данных целое число и множество S наборов элементов { 1 , . , , , П } , что является сложность нахождения множество Т элементов { 1 , . , , , n } такой, что T имеет минимальную мощность и T не входит ни в один из множеств S ?$n$$S$$\{1, ..., n\}$$T$$\{1, ..., n\}$$T$$T$$S$

Пусть , и пусть F = { S 1 , S 2 , … , S m } ⊆ 2 [ n ] - семейство входных множеств. Если я не понял вашу формулировку проблемы, мы хотим найти множество минимальных размеров T ⊆ [ n ], такое, что T ⊈ S i для всех i = 1 , $[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$ .$i = 1, 2, \dotsc, m$

Чтобы ответить на ваш вопрос, обратите внимание, что тогда и только тогда, когда T ∩ ( [ n ] ∖ S i ) ≠ ∅ . То есть T должен пересекать дополнение каждого S i . Но это означает, что ваша задача, по сути, эквивалентна проблеме набора множеств (рассмотрим набор множеств с входом G = { [ n ] ∖ S i : i = 1 , 2 , … , m } ):$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

Удар Set. Для заданного семейства и целого числа k существует ли множество T ⊆ [ n ] с | T | ≤ k и T ∩ S ≠ ∅ для всех S ∈ F ?$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

Ударная совокупность, как известно, является NP-полной и не может быть, в общем-то, решена быстрее, чем за время если гипотеза сильного экспоненциального времени не удастся.$O(2^n)$

Эта проблема эквивалентна проблеме «Задать крышку» / «Задать проблему с набором»:

Для семейства подмножеств { 1 , ... , п } , найдется множество T ⊂ { 1 , ... , п } минимального возможного размера , который пересекает каждый набор в семье F .$\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

Ваша задача эквивалентна задаче об ударе по множеству, поскольку не лежит ни в одном множестве в S тогда и только тогда, когда она пересекает каждое множество в F = { ˉ A : A ∈ S } . (Таким образом, чтобы решить экземпляр задачи о множестве ударов, достаточно решить экземпляр вашей задачи с помощью S = { ˉ A : A ∈ F } .)$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

Задача «Удар по набору» NP-сложна [Карп 72]. Для этого существует алгоритм аппроксимации и соответствующий результат приближения твердости [Lund, Yannakakis '94, Feige '98].$O(\log n)$