Оптимальные NP-решатели

Зафиксируем NP-полную задачу поиска, например форму поиска SAT. Поиск Левина предоставляет алгоритм L для решения X, который в некотором смысле является оптимальным. В частности, алгоритм таков: «Выполните все возможные программы P в соответствии друг с другом на входе x , как только некоторые P вернут ответ y, проверяет, правильно ли это». Это оптимально в том смысле, что дана программа P, которая решает X с временной сложностью t $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$$L$$X$$P$$x$$P$$y$$P$$X$ , временная сложность t L ( n ) из L удовлетворяет$t_P(n)$$t_L(n)$$L$

$$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$$

где - фиксированный полином, который зависит от точной модели вычислений$p$

можно сформулировать несколько сильнее. А именно, для каждого M ⊂ { 0 , 1 } * и Q программырешающей X с посылом М во время т М Q ( п ) , временной сложность т M L ( п ) из L ограничивается входами в M удовлетворяет$L$$M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$$Q$$X$$M$$t^M_Q(n)$$t_L^M(n)$$L$$M$

$$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$$

где - фиксированный многочлен. Принципиальное отличие состоит в том, что t M Q ( n ) может быть, например, полиномиальным, даже если P ≠ N $q$$t^M_Q(n)$$P \neq NP$

Очевидная «слабость» - большой фактор 2 | Q | в этом связан. Легко видеть, что если существует алгоритм, удовлетворяющий границе того же вида с 2 | Q | заменяется полиномом в | Q | то Р = Н Р . Это потому, что мы можем принять Q за программу, решающую некоторый данный экземпляр X путем жесткого кодирования ответа. Аналогично, если 2 | Q | можно заменить на субэкспоненциальную функцию | Q $L$$2^{|Q|}$$2^{|Q|}$$|Q|$$P = NP$$Q$$X$$2^{|Q|}$$|Q|$тогда гипотеза экспоненциального времени нарушается. Однако ответ на следующий вопрос менее очевиден (для меня):

Предполагая гипотезу об экспоненциальном времени и другие известные гипотезы (например, невырожденность полиномиальной иерархии, существование односторонних функций), если необходимо, существует ли алгоритм решающий X st для каждого M ⊂ { 0 , 1 } ∗ и в программе решения X с посылом М во время т М Q ( п ) , временной сложность т М А ( п ) из А ограничена входы в M удовлетворяет$A$$X$$M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$$Q$$X$$M$$t^M_Q(n)$$t_A^M(n)$$A$$M$

$$t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$$

где полиномиальный, f субэкспоненциальный и g произвольный$q$$f$$g$

Если ответ положительный, может ли быть полиномом? Какова скорость роста g (ясно, по крайней мере, экспоненциальный при ETH)? Если ответ отрицательный, может ли существовать многочлен f, если ETH неверен, но P ≠ N P ?$f$$g$$f$$P \neq NP$

Рассмотрим следующий алгоритм (вариант алгоритма Левина):

$n$

Остановитесь, когда один из алгоритмов найдет решение.

$x$$n$

• $Q$$n$$O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$

• $Q$$n$$n < 2^{|Q|}$$2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

$$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$$

$f(n)$$g(n)$$n$$g(n)$$n$$f(n)$$n$