автоморфизм в гаджетах Кая-Фюрера-Иммермана

В известном контрпримере для изоморфизма графа с помощью метода Вейсфейлера-Лемана (WL) в этой статье Кай, Фюрер и Иммерман построили следующий гаджет . Они строят граф определяемый как$X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

Одна из лемм в статье (лемма 3.1, стр. 6) гласит, что если мы закрасим вершины и b i цветом i, то | A u t ( X k ) | = 2 k - 1 (цвет должен сохраняться автоморфизмом), где каждый автоморфизм соответствует замене a i и b i для каждого i в некоторых подмножествах S из { 1 , 2 , … , k $a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$даже кардинальности. Они говорят, что доказательство является немедленным. Но я не вижу, как даже в случае . В X 2 ( a 1 , m { 1 , 2 } ) - ребро, но если у нас есть автоморфизм, который заменяет a 1 , b 1 и a 2 , b 2, то указанное ребро преобразуется в ( b 1 , m { 1 , 2 }$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$$(b_1, m_{\{1,2\}})$который не край Так что это не должно быть автоморфизмом.

Я хотел бы понять, в чем мое недоразумение.

Вы пропускаете пустой набор который связан со всеми б . Чтобы получить автоморфизм, выбрать подмножество T ⊆ { 1 , . , , , k } четного количества элементов, а затем заменяет a i на b i для каждого i ∈ T, а затем корректирует множества в середине. В вашем примере это граф ( a 1 , { 12 } ) , ( a 2 , { 12 } ) $\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

Тем не менее , в вашем примере , если вам не нужно ничего делать , и если T = { 1 , 2 } автоморфизм задается путем замены в 1 с Ь 1 , 2 с Ь 2 и { 1 , 2 } с ∅ ,$T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

Теперь для общего случая нам нужно показать, что всегда есть способ корректировки средних вершин. Мы знаем, что имеет даже кардинальность. Так что давайте | T | = 2 р . Нам просто нужно показать, что такой автоморфизм существует, если | T | = 2, так как в противном случае мы можем применить композицию r автоморфизмов, соответствующих разбиению T на r подмножеств размера 2 . Итак, предположим, что T = { i , j } . Тогда автоморфизм меняет а я с$T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$ , a j с b j , каждая средняя вершина S такая, что S ∩ { i , j } = ∅ со средней вершиной S ∪ { i , j } (это можно видеть в вашем примере), и каждое подмножество S такое что S ∩ { i , j } = { i } с таким подмножеством, что S ∩ { i , j $b_i$$a_j$$b_j$$S$$S\cap\{i,j\}=\emptyset$$S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$ (это вы можете увидеть для k = 3 ). Обратите внимание, что этот процесс обмена является автоморфизмом, поскольку для индекса p ≠ { i , j } отношение ребер между a p , b p и этими переставленными вершинами полностью сохраняется, и, очевидно, отношение ребер между a i , a j , b i , b j правильно настроен.$S\cap \{i,j\}= \{j\}$$k=3$$p\neq \{i,j\}$$a_p$$b_p$$a_i,a_j,b_i,b_j$

$a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$$b_j$$\square$