Твердость аппроксимации без теоремы PCP

36

Важное применение теоремы PCP состоит в том, что она дает результаты типа «твердость приближения». В некоторых относительно более простых случаях такую твердость можно доказать без PCP. Есть ли, однако, какой-либо случай, когда твердость результата аппроксимации была сначала доказана с использованием теоремы PCP, т. Е. Результат не был известен раньше, но позже было найдено более прямое доказательство, которое не зависит от PCP? Другими словами, есть ли какой-нибудь случай, когда PCP сначала был необходим, но позже его можно было устранить?

cc.complexity-theory approximation-hardness pcp

— Андрас Фараго
источник

35

Примером этого документа:

Guruswami, V. & Khanna, S. (2004). По твердости 4-раскраски есть 3-раскрашенный граф. Журнал SIAM по дискретной математике , 18 (1): 30-40. ссылка

Используя теорему PCP, Khanna, Linial и Safra (2000) доказали, что NP-цвет трудно раскрасить трехцветным графом, используя всего 4 цвета. Позже, Guruswami & Khanna (2004), среди прочего, предоставили доказательство того же результата без использования PCP.

— VB Le
источник

11

Хотели бы вы описать статью в своем ответе, а не просто указать на нее гиперссылкой?

— Ниль де Боудрап

15

Для задачи о максимальных непересекающихся путях в ориентированных графах работа Ma & Wang (2000) была основана на проблеме покрытия меток, которая, в свою очередь, основана на теореме PCP. Впоследствии Guruswami et al. Нашел простое снижение с помощью твердости проблемы 2-непересекающихся путей. и др. (2003), который также дал улучшенную твердость.

— Чандра Чекури
источник

Но требует ли твердость по 2 непересекающимся путям PCP?

— Суреш Венкат

3

@SureshVenkat, 2-непересекающиеся пути не требуют PCP. Это проблема определения , имеется ли непересекающиеся пути , соединяющие и в ориентированном графе . Это было доказано, что NP-Complete через сложное сокращение гаджета от SAT, Фортуна, Хопкрофт и Уайли.

(s_{1}, t_{1})

$(s_1,t_1)$

(s_{2}, t_{2})

$(s_2,t_2)$

G

$G$

— Чандра Чекури

13

Есть примеры из приблизительного подсчета. Приблизительно подсчитать количество удовлетворяющих назначений NP-отношения может быть только сложнее, чем решить, существует ли удовлетворительное назначение, поэтому не слишком удивительно, что не требуется теорема PCP, чтобы доказать трудность для таких задач. Тем не менее, теорема PCP иногда дает удобную отправную точку, например, для этой статьи о приблизительном подсчете количества независимых множеств в разреженном графе: http://www.dcs.ed.ac.uk/home/mrj/papers/ DFJ02.pdf Позже, Слай доказал результат твердости для приблизительного подсчета независимых наборов только на основе стандартной NP-твердости Max-Cut: http://arxiv.org/pdf/1005.5584v1.pdf

— Дана Мошковиц
источник

1

Интересно - UGC улучшает Sly коэффициент жесткости аппроксимации здесь? (Edit: Я думаю , нет, он утверждает является оптимальным Edit2: Если вы не могли исключить что - то более сильное , чем PTASs Любая идея , если inapproximability MAX-CUT подразумевает что - нибудь для раздела.?)

d = 6

$d=6$

— Daniel Apon

2

@DanielApon: более поздний результат, использующий недопустимость MAX-CUT для получения еще более сильного результата недопустимости: arxiv.org/abs/1203.2602 показывает, что для некоторого трудно NP приблизительно подсчитать независимые множества в 6-регулярных графах с точностью до соотношения . Я не думаю, что оптимальное значение было исследовано в UGC или иным образом.

c

$c$

e^{c n}

$e^{cn}$

c

$c$

— Колин МакКиллан

10

Другой ответ, который в несколько ином духе, чем предыдущие, - это статья Ури Фейджа: отношения между средней сложностью и сложностью аппроксимации .

Ури показывает, что предположения среднего случая могут заменить теорему PCP для доказательства сложности аппроксимации некоторых задач. Заметьте, однако, что мы не знаем, как доказать допущения в среднем случае, и у нас есть некоторые доказательства того, что мы не сможем доказать их на основе стандартных допущений твердости NP (см. Статьи Фейгенбаума-Фортнау, Богданов-Тревизан и др.)

— Дана Мошковиц
источник