Состояние системы подсолнечника

Я интересуюсь системой подсолнечника и ее приложениями в информатике.

Для данной Вселенной и набора из множеств называется системой k-подсолнечника, если для всех . И называется ядром, а называется лепестками. $U$ $k$ $A_i$ $A_i \cap A_j = Y$ $i \neq j$ $Y$ $A_i - Y$

Семейство наборов $F$ называется равномерным - все содержащиеся в нем множества содержат элементов. $s$ $s$

Erdos и Rado доказали , что для единообразного семейства множеств , должна содержать -sunflower системы лепестков , если $s$ $F$ $F$ $k$ . $|F| > s!(k-1)^s$

Этот результат называется леммой подсолнечника и имеет много важных применений.

Эрдош высказал предположение , что для каждого существует постоянная таким образом, что верхняя граница должна быть каждой -равномерная семьи . (Гипотеза подсолнечника) $k$ $c_k$ $c_k^s$ $s$ $F$

К сожалению, эта гипотеза все еще открыта для . $k=3$

Вот что я хочу знать.

Если мы ограничим количество элементов во вселенной .Suppose = . Тогда проблема оказывается: $U$ $|U|$ $u$

Для данной вселенной с элементами и -однородным семейством множеств, содержащих элементы в , мы предположили, что можем найти последовательность констант , , , ... такую, что каждое -однородное семейство содержит подсолнечная система, если и $u$ $s$ $F$ $U$ $c_1$ $c_2$ $c_3$ $s$ $F$ $3$ $|F|>$ $c_i^s$ . $|U|=i$

Более того, если бы мы могли доказать, что последовательность сходится к константе , то, похоже, мы можем доказать гипотезу подсолнечника. $c_i$ $c$

Но я не могу найти такой результат. Возможно, такой подход слишком глуп или слишком сложен.

Может ли кто-нибудь представить современное состояние леммы подсолнечника и гипотезы (конечная версия тоже в порядке).

Вот кое-что, что я могу предоставить. В книге Юнки есть глава «Экстремальная комбинаторика».

Статья выше является одним из его приложений (конечная версия)

О подсолнухах и умножении матриц N Alon et.al

co.combinatorics set-theory

— Яо Ван
источник

Похоже, что над этой работой не так много прямой работы, кроме новых приложений и недавней статьи, которую вы цитируете, что может повысить интерес и, пожалуй, лучшее место для начала работы с ссылками (& juknas book также непобедим). Вот хороший обзор взаимосвязей Калай в своем блоге

— vzn

я думаю, что

зависит от

делает задачу тривиальной, так как вы можете установить

. Также у меня сложилось впечатление, что не имея зависимости от

интересная вещь о лемме

c_{i}

$c_i$

i = | U |

$i = |U|$

c_{i} = 2^{i}

$c_i = 2^i$

| U |

$|U|$

— Сашо Николов

@SashoNikolov. Спасибо за ответ. Да, мы не хотим зависеть от

, но если у нас есть

, То мы можем явно построить максимальное семейство

. Что мне интересно, так это то, что если бы это явное здание могло показать что-то интересное для проблемы. Например, можем ли мы найти семью с

которая все еще не содержит подсолнечную систему. Я пытался создать такую максимальную семью, но это кажется таким сложным. Я не могу создать какую-то большую максимальную семью, чем пример из Книги Джунки (Глава 7).

| U |

$|U|$

| U |

$|U|$

F

$F$

2^{i - ϵ}

$2^{i-\epsilon}$

— Яо Ван

вкратце, я спрашиваю, можем ли мы улучшить нижнюю границу.

— Яо Ван

ЭРДЁШ подсолнечника гипотеза , кажется, очень трудно после того, как в настоящее время более полувека (!) быть открытым. Вы уже перечислили некоторые из самых лучших и последних ссылок на Subj, которые было бы очень трудно победить (недавняя статья Алонса, книга Юкнаса по комбинаторике). статья Алона весьма примечательна тем, что вновь связывает эту гипотезу с нижними границами умножения матриц - области, в которой недавно произошел новаторский прогресс в результатах Уильямса. [4]

Вы можете найти дальнейшую трактовку, в основном приложения к теории экстремальных цепей (нижние границы 1-й цепи, открытые Разборовым и расширенные другими), в выдающейся книге Юкны [1].

Одним из примечательных / связанных недавних ссылок по этим направлениям, по-видимому, пока не столь широко известным или цитируемым, является [2] Россман с новым направлением применения (случайные графы Эрдоша-Реньи над монотонными цепями), который доказывает расширенные и / или более сильные результаты на "квази" подсолнухах. работа является результатом его докторской диссертации [3]. из реферата

Мы представляем новый вариант подсолнечника и доказываем аналог леммы подсолнечника, который может представлять самостоятельный интерес.

[1] Сложность, достижения и границы булевых функций

[2] Монотонная сложность k-клики на случайных графах (2009) Россман

[3] Средняя сложность обнаружения клик по Россману

[4] Комментарий к прорыву Уильямса по нижней границе матричного произведения Р. Дж. Липтонс Годелс Потерянное письмо блог

[5] Подробные материалы о подсолнухах

— ВЗН
источник