Есть ли проблема, которая проста для кубического графа, но сложна для графов с максимальной степенью 3?

Кубические графы - это графы, в которых каждая вершина имеет степень 3. Они были тщательно изучены, и я знаю, что некоторые NP-сложные задачи остаются NP-трудными, даже если они ограничены подклассами кубических графов, но некоторые другие становятся проще. Суперкласс кубических графов - это класс графов с максимальной степенью . $\Delta \leq 3$

Есть ли какая-нибудь проблема, которую можно решить за полиномиальное время для кубических графов, но это NP-трудно для графов с максимальной степенью ? $\Delta \leq 3$

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— Виниций душ Сантуш
источник

Вырожденный ответ, который показывает, что могут быть разные сложности (хотя ни одна из них не является NP-Hard): Нахождение является постоянным временем на кубических графах, но линейным на графах с . :-)

δ

$\delta$

Δ \leq 3

$\Delta \le 3$

— Уильям Макрэй

Хорошая точка зрения. :-)

— Виниций душ Сантуш

Для неправильного выбора кодировок это может быть даже -hard, когда , но будет гораздо ценнее найти проблему, которая не зависит от плохой кодировки, и даже лучше, если эта проблема хорошо изучал один.

N P

$NP$

Δ \leq 3

$\Delta \le 3$

— Уильям Макрэй

Чтобы расширить комментарий Уильяма, вот искусственная проблема. Учитывая граф , представляет ли последовательность степеней , интерпретируемая как кодирование экземпляра 3-SAT, удовлетворительный экземпляр? $G$ $G$

(Предполагая, что кодировка такова, что последовательность из всех 3 степеней представляет удовлетворительное назначение для каждого .) :-)

n

$n$

— Нил Янг,

См. Также cstheory.stackexchange.com/questions/1215/… для большего вдохновения (например, проблемы, которые являются сложными для деревьев максимальной степени 3, но тривиальными, если нет листовых узлов).

— Юкка Суомела

$(G,k)$ $G$ $k$

— Дэвид Эппштейн
источник

«... тогда решение - либо самый длинный цикл, либо максимальное совпадение ...». Как ваша претензия зависит от k? Это не верно для всех k.

— Тайсон Уильямс

k

$k$

k = n

$k=n$

n

$n$

P

$P$

Дэвид, максимальное совпадение (размером больше 1) в G не является связанным подграфом G. Вы хотите сказать «... либо самый длинный цикл, либо одно ребро, ...»?

— Тайсон Уильямс

Ладно ладно. Сегодня, кажется, не очень хороший день для меня, чтобы быть строгим - слишком много индейки, вероятно. Я добавил немного языка, чтобы исключить этот особый случай.

— Дэвид Эппштейн

@YininCao Поскольку граф связан, но не является регулярным, нет способа выбрать 3-регулярный подграф. Предположим, что это так. Тогда существует вершина, которая не была выбрана, поскольку граф не является регулярным. Поскольку граф связан, эта вершина связана с некоторой 3-правильной вершиной, которая была выбрана. Но это означает, что существует вершина степени 4, противоречие.

— Тайсон Уильямс