Причины, по которым график может быть не

Рассуждая немного об этом вопросе , я попытался определить все различные причины, по которым граф может не быть k раскрашиваемым. Это единственные две причины, которые я смог определить до сих пор:$G = (V_G,E_G)$$k$

1. содержит клику размером k + 1 . Это очевидная причина.$G$$k+1$

2. Существует подграф группы G такой, что оба следующих утверждения верны:$H = (V_H, E_H)$$G$

   • не k - 1 раскраска.$H$$k-1$
   • . Другими словамисуществуетузле х в G , но не в H , такойчто х соединен с каждым узлом в H .$\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$$x$$G$$H$$x$$H$

Мы можем видеть две причины выше, как правила. К рекурсивно их применения, только два пути , чтобы построить не Colorable граф , который не содержит к + 1 клика:$k$$k+1$

1. Начните с цикла четной длины (который равен цветам), затем примените правило 2 для k - 1 раз. Обратите внимание, что ребро не считается циклом длины 2 (в противном случае этот процесс приведет к созданию клики k + 1 ).$2$$k-1$$2$$k+1$
2. Начните с цикла нечетной длины (который равен цветам), затем примените правило 2 для k - 2 раза. Длина начального цикла должна быть больше 3 (в противном случае этот процесс приведет к созданию клики k + 1 ).$3$$k-2$$3$$k+1$

Вопрос

Есть ли еще какая-то причина, кроме указанных выше, которая делает граф не раскрашиваемым?$k$

$\ $
Обновление 30/11/2012

Точнее, мне нужна некоторая теорема вида:

Граф имеет хроматическое число χ ( G ) = k + 1 тогда и только тогда, когда ...$G$$\chi(G) = k + 1$

Исчисление Хайоса , на которое указал Ювал Фильмус в своем ответе, является прекрасным примером того, что я ищу, поскольку граф имеет хроматическое число χ ( G ) = k + 1 тогда и только тогда, когда его можно вывести из аксиомы K k. + 1 путем многократного применения 2 правила вывода исчисления. Тогда число Хайоса h ( G ) - это минимальное количество шагов, необходимых для получения G (т. Е. Длина кратчайшего доказательства).$G$$\chi(G) = k + 1$$K_{k+1}$$h(G)$$G$

Это очень интересно, что:

• Вопрос о том, существует ли граф чье h ( G ) экспоненциально по размеру G , остается открытым.$G$$h(G)$$G$
• Если такая не существует, то Н Р = C уплотнительное N P .$G$$NP = coNP$

Вы должны проверить исчисление Хайос . Хайос показал, что у каждого графа с хроматическим числом, по крайней мере, есть подграф, у которого есть «причина», требующая k цветов. Рассматриваемая причина - система доказательства для требования k цветов. Единственная аксиома - это K k , и есть два правила вывода. См. Также эту статью Питасси и Уркхарта об эффективности этой системы доказательств.$k$$k$$k$$K_k$

Частичный ответ в том, что я не знаю хорошей «причины», которую можно обобщить, но следующий график ( отсюда беззастенчиво ):

Не является 3-раскрашиваемым, но, очевидно, 4-раскрашиваемым (будучи плоским) и не содержит ни , ни какого-либо цикла с дополнительной вершиной, связанной со всеми вершинами цикла (если я что-то не пропустил, но только вершины) связаны с вершиной и ее сосед в 3-циклах). Если пойти дальше, вы можете применить версию правила 2, чтобы получить график хроматического числа 5.$K_{4}$

Я подозреваю, что для любого данного рода есть график определенного минимального хроматического числа (см. Гипотезу Хивуда ), который не следует правилам 1 или 2. Конечно, у меня нет никаких доказательств, кроме интуиции.

Ловаш нашел топологические препятствия для k-окрашивания и использовал свою теорию для решения гипотезы Кназера. Его теорема состоит в следующем. Пусть G - связный граф, и пусть N (G) - симплициальный комплекс, грани которого являются подмножествами V, имеющими общих соседей. Тогда, если N (K) является k-связным (а именно, все его приведенные группы гомологий равны от 0 до размерности k-1), то количество цветов, необходимых для окраски G, составляет не менее k + 3.

Отсутствие большого независимого набора может быть так же важно, как и большая клика.

Важным препятствием для того, чтобы граф не был k-раскрашиваемым, является то, что максимальный размер независимого множества меньше, чем n / k, где n - количество вершин. Это очень важное препятствие. Например, это означает, что случайный граф в G (n, 1/2) имеет хроматическое число, по крайней мере, n / log n.

Более сложное препятствие состоит в том, что для каждого назначения неотрицательных весов для вершин не существует независимого набора, который бы занимал долю 1/5 (или более) от общего веса. Обратите внимание, что это также включает в себя «никаких препятствий клика». LP-двойственность говорит вам, что это препятствие эквивалентно тому, что «дробное хроматическое число» G больше k.

Существуют также препятствия для k-окрашивания другой природы, которые иногда выходят за пределы дробного барьера хроматических чисел. Я посвящу им отдельный ответ.

$G$$\chi(G)=k+1$

$G$$\chi(G)\ge k$$G$$k-1$