Твердость параметризованной CLIQUE?

Пусть $0\le p\le 1$ и рассмотрим решение задачи

CLIQUE Ввод: целое число$_p$
$s$ , граф $G$ с $t$ вершинами и края Вопрос: действительно содержит клику по крайней мере вершинами?$\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$$s$

Экземпляр CLIQUE содержит пропорцию от всех возможных ребер. Ясно, что CLIQUE легко для некоторых значений . CLIQUE содержит только полностью отключенные графы, а CLIQUE содержит полные графы. В любом случае CLIQUE может быть определено за линейное время. С другой стороны, для значений близких к , CLIQUE является NP-трудной по сокращению от самой CLIQUE: по существу, достаточно взять несвязное объединение с графом Турана ,$_p$$p$$_p$$p$$_0$$_1$$_p$$p$$1/2$$_p$ $T(t,s-1)$

Мой вопрос:

Является ли CLIQUE в PTIME или NP-полной для каждого значения ? Или есть значения для которых CLIQUE имеет промежуточную сложность (если P ≠ NP)?$_p$$p$$p$$_p$

Этот вопрос возник из смежного вопроса для гиперграфов, но сам по себе он кажется интересным.

Я предполагаю, что число в определении задачи CLIQUE_pточно равно числу ребер в графе, в отличие от комментария gphilip к вопросу.$\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

Задача CLIQUE _p является NP-полной для любой рациональной константы 0 < p <1 путем сокращения от обычной задачи CLIQUE. (Предположение, что p рационально, требуется только для того, чтобы можно было вычислить из N за время от полинома от N. )$\lceil pN \rceil$

Пусть k ≥3 - целое число, удовлетворяющее как k ² ≥1 / p, так и (1−1 / k ) (1−2 / k )> p . Для графа G с n вершинами и m ребрами вместе с пороговым значением s редукция работает следующим образом.

1. Если s < k , мы решаем задачу CLIQUE за время O ( n ^s ). Если есть клика размером не менее s , мы создаем фиксированный экземпляр yes. В противном случае мы производим фиксированный no-instance.
2. Если n < s , мы создаем фиксированный no-instance.
3. Если n ≥ s ≥ k , мы добавляем в G a ( k −1) -двойственный граф, где каждое множество состоит из n вершин, которые имеют точно ребер, иполучимэтот граф.$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

Обратите внимание, что случай 1 занимает время O ( n ^{k −1} ), которое является полиномиальным от n для каждого p . Случай 3 возможен потому, что если n ≥ s ≥ k , то неотрицательна и непревосходитчисла ребер в полном (k−1) -раздельном графе K_n,…,n,как показано в следующих двухпунктахформулы изобретения.$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

П.1 . .$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

Доказательство . Поскольку достаточно доказатьp ( n$m \le \binom{n}{2}$ или, что то же самое,pnk(nk −1) ≥n(n −1). Посколькуp≥ 1 /k², имеемpnk(nk −1) ≥n(n −1 /k) ≥n(n −1). КЕД.$p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$

П.2 . . (Обратите внимание, что правая часть - это число ребер в полном (k − 1) -раздельном графе K_n,…,n.)$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

Доказательство . Поскольку и m ≥ 0, достаточно доказать p ( n $\lceil x \rceil \lt x+1$$p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

Редактировать : в Редакции 1 произошла ошибка; иногда требовался граф с отрицательным числом ребер (когда p было маленьким). Эта ошибка исправлена.

$p$$t$$p$$\log^4 t$$s$$\log^2 t$$t^{\log^2 t}$

$\log^2 t$

$p$