Различение элементов за O (n) время?

Все мы знаем, что отличимость элементов в модели, основанной на сравнении, не может быть выполнена за времени. Тем не менее, одним словом RAM можно добиться большего. $o(n\log n)$

Конечно, если предположить существование совершенной хеш-функции, которая может быть вычислена за линейное время, мы получим алгоритм линейного времени для различения элементов: просто продолжайте хешировать числа одно за другим и возвращать 1, если есть столкновение.

Однако есть две проблемы: 1) большинство конструкций совершенных хеш-функций, которые я мог бы найти, использовали случайность и 2) я нигде не могу найти обсуждение времени предварительной обработки, т. Е. Времени, необходимого, чтобы решить, какую хеш-функцию использовать. использовать на основе входного набора чисел.

Фредман и др. « Хранение разреженной таблицы с наихудшим временем доступа $O(1)$ » действительно решает первую проблему, предоставляя хэш-функцию с временем доступа в наихудшем случае, но ничего не говорит о второй проблеме , $O(1)$

Подводя итог, вот что я хочу:

Разработать алгоритм, который дает набор из чисел (каждое число имеет длину бит) в слове RAM с длиной слова , находит хеш-функцию в время, где . Функция должна обладать тем свойством, что для любого число элементов которые отображаются в является константой, а вычисление должно принимать $S$ $n$ $w$ $w$ $h:S\rightarrow \{1, \ldots , m\}$ $O(n)$ $m = O(n)$ $h$ $j \in \{1, \ldots , m\}$ $S$ $j$ $h(i)$ $O(1)$ время в «разумной» модели слова-RAM, т. е. модель не должна позволять «экзотическим» функциям слов оцениваться за времени. $O(1)$

Я также хотел бы знать, существуют ли алгоритмы для определения отличимости элементов в слове RAM, которые вообще не используют хеш-функции.

ds.algorithms

— Винаяк Патхак
источник

Re: «Я также хотел бы знать, существуют ли алгоритмы для определения отличимости элементов в слове-RAM, которые вообще не используют хэш-функции». - до тех пор, пока вы хотите только а не линейный, есть много работы по сортировке по слову RAM (см. En.wikipedia.org/wiki/Integer_sorting ). Некоторые из этих алгоритмов используют хеширование, а другие нет.

o (n \log n)

$o(n\log n)$

— Дэвид Эппштейн

Допустимы ли приблизительные решения?

— AT

(Я думаю, что) Ваш мыслительный процесс пропускает один шаг: 1. Вы постулируете, что лучшая сложность в модели сравнения - 2. Вы спрашиваете, как это можно улучшить в модели RAM 3. Вы напрямую спросите решение за время в модели RAM. Скорее, вы должны изучить решения в в модели RAM и посмотреть, можете ли вы улучшить их?

Θ (n \log n)

$\Theta(n\log n)$

O (n)

$O(n)$

o (n \log n)

$o(n\log n)$

— Джереми

Radix сортирует вас слишком медленно?

— Томас Мюллер

Различение элементов может быть решено детерминистически в модели RAM за время в течение времени: $O(n\log\log n)\subset o(n\log n)$

Сортируйте по времени в пределах ваши чисел по битам, используя алгоритм сортировки, описанный Ханом в STOC 2002 («Детерминированная сортировка по времени и линейному пространству»), затем сканируйте за линейное время на наличие столкновений. $O(n\log\log n)$ $n$ $w$ $O(n\log\log n)$

Насколько я знаю, это лучший результат, известный на сегодняшний день.

— Джереми
источник

Это именно то, что делает упомянутая вами статья FKS - и это занимает линейное время (в ожидании). См. Страницу 5 для анализа ... http://www1.icsi.berkeley.edu/~luby/PAPERS/pairwise.ps

— Сариэль Хар-Пелед
источник