Как близко мы можем добраться до линейного умножения, сложения и сравнения (по целым числам)?

Согласно статье К. У. Ригана «Соедините звезды» , в конце он упоминает, что найти представление целых чисел так, что операции сложения, умножения и сравнения вычисляются за линейное время, все еще остается открытой задачей:

Существует ли представление целых чисел, так что сложение, умножение и сравнение осуществимы за линейное время? В принципе, существует ли линейное время дискретно упорядоченного кольца?

(1) Насколько мы можем приблизиться к линейному умножению и сложению времени без сравнений? Здесь я предполагаю, что размеры задач могут варьироваться, поэтому нам может понадобиться структура данных / алгоритм, который позволяет изменять целочисленные размеры.

(2) Для полной задачи можно предположить, что мы найдем оптимальную схему умножения, сложения и сравнения на целых числах. Насколько близко мы можем получить самую медленную из этих трех операций (в худшем случае) к линейному времени? И на этой ноте, насколько быстрыми будут другие операции?

ФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Как отмечает Эмиль Йержабек, мы хотели бы исключить тривиальные случаи и сконцентрироваться на поведении в худшем случае для этого вопроса.

Поэтому мы спрашиваем, для неотрицательных целых чисел и где и , можем ли мы найти структуру данных / алгоритм, который может выполнять сложение, умножение и сравнение с \ между и в времени и пространства? $\forall x$ $\forall y$ $0 \le x < n$ $0 \le y < n$ $x$ $y$ $O(n \log{(n)})$ $O(\log^2{(n)})$

ds.algorithms ds.data-structures worst-case

— Мэтт Грофф
источник

Я упомяну, что можно создать схему, которая выполняет эти операции за время

для неотрицательных целых чисел, где

- размер бит наибольшего целого числа (при условии, что мы знаем

заранее). Интересно, сможем ли мы добиться большего успеха и сделать это во времени, пропорциональном текущему целому числу (ам), вычисляемому.

Θ (n)

$\Theta(n)$

n

$n$

n

$n$

— Мэтт Грофф

@TysonWilliams: Да! Binary!

— Джефф

Вместо получения линейного времени для всех этих операций, есть ли представление целых чисел, чтобы у всех этих операций было время

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

На самом деле, существует тривиальный положительный ответ: представлять целые числа в двоичном коде с

битами заполнения. Не должно ли утверждение включать какое-то условие о том, что представление должно иметь длину, линейную по длине двоичного представления?

n^{2}

$n^2$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

@ EmilJeřábek: Я предполагаю, что он хочет, чтобы представление любого целого числа

использовало

битов для некоторой функции

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n) = Θ (\log n)

$f(n)=\Theta(\log n)$

— Джефф

Возможно, не самый лучший ответ, но, возможно, это полезная отправная точка. Если мы хотим представить неотрицательное целое число, мы можем сохранить его в виде набора вычетов по модулю последовательных простых чисел, начиная с 2. В этой форме сравнение потенциально сложно, но умножение и сложение могут быть выполнены довольно быстро. Произведение первых простых чисел аппроксимирована с помощью Следовательно, для представления целого числа требуются вычеты по модулю первых простых чисел, где $n$

p_{n} # = \exp ((1 + o (1)) n \log n) .

$p_n\# =\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n).$

N

$N$

n

$n$

. Поскольку мы можем представить любое

используя вычеты по модулю первых

простых вычетов, мы можем взять

. Сложение и умножение может быть сделано непосредственно между парами остатков. Такихпар

, причем максимальное простое число равно

. Таким образом, дополнение должно быть в

N < \exp ((1 + o (1)) n \log n)

$N<\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n)$

N < p_{n} #

$N<p_n\#$

n

$n$

n \log n \propto \log (N)

$n \log n \propto \log(N)$

n

$n$

n \log (n)

$n\log(n)$

,то время как умножениепомощью Шёнхаге-Strassen должно быть в

. Поскольку

, то грубое приближение дает

O (n \log \log (N))

$O(n\log\log(N))$

O (n \log \log (N) \log \log \log \log (N) \log \log \log (N))

$O(n\log\log(N)\log\log\log\log(N)\log\log\log(N))$

n \log n \propto \log N

$n \log n \propto \log N$

n

$n$

O (\log N / \log \log N)

$O(\log N/\log\log N)$ , Это дало бы сложность сложения и умножения , как приблизительно

O (\log N)

$O(\log N)$

O (\log N \log \log \log N \log \log \log \log N)

$O(\log N \log\log\log N \log\log\log\log N)$

— Джо Фитцсимонс
источник

см. также теорему об остатках на китайском языке

— vzn

@vzn: Да, я собирался упомянуть это для сравнения, но потом мне пришло в голову, что может быть более быстрая операция сравнения через смешанное представление радиуса.

— Джо Фицсимонс